Sind 8 Gauß-Punkte für hexaedrische finite Elemente zweiter Ordnung erforderlich?

Ist es möglich, eine Genauigkeit zweiter Ordnung für hexaedrische finite Elemente mit weniger als 8 Gauß-Punkten zu erhalten, ohne unphysikalische Modi einzuführen? Ein einzelner zentraler Gauß-Punkt führt einen unphysikalischen Schermodus ein, und die standardmäßige symmetrische Anordnung von 8 Gauß-Punkten ist im Vergleich zu tetraedrischen Diskretisierungen teuer.

Bearbeiten : Jemand fragte nach Gleichungen. Die Gleichungen, an denen ich interessiert bin, sind nichtlineare Elastizität, entweder dynamisch oder quasistatisch. Die quasistatischen Gleichungen sind

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$$\Omega \subset \mathbf{R}^3$$P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

Bei Simulationen der Finite-Elemente-Festkörpermechanik können Sie nicht weniger als 8 Quadraturpunkte ohne Stabilisierungskräfte verwenden. Im Fall von inkompressiblem Material (Ihrem Fall) ist die beste Lösung für Genauigkeitszwecke die Verwendung einer gemischten Formulierung. Sie können sich auf das Buch von Simo und Hughes beziehen: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

Es ist relativ offensichtlich, dass Sie im Allgemeinen nicht mit weniger Quadraturpunkten pro Zelle davonkommen können, als es Freiheitsgrade gibt. Im Fall von trilinearen Elementen auf einem 3D-Hexaeder gibt es 8 Freiheitsgrade (einen pro Scheitelpunkt), sodass die minimale Anzahl von Quadraturpunkten ebenfalls acht beträgt.

das ist nicht umkehrbar und folglich völlig nutzlos. Der Grund ist, dass eine Einpunkt-Quadraturformel nicht zwischen allen linearen Funktionen (Teil des Versuchsraums) unterscheiden kann, die am Quadraturpunkt den gleichen Wert haben. Mit anderen Worten, für die Mittelpunktsregel ist die Formfunktion 'x' dieselbe wie die Funktion '0' dieselbe wie die Funktion '-x'. Mit anderen Worten, während der Versuchsraum die Dimension 2 mit exakten Integralen hat, hat der Raum für die Mittelpunktsregel die Dimension 1, obwohl es zwei Freiheitsgrade gibt - das ist die Definition eines Raums, der nicht unlösbar ist.) Für die Mittelpunktsregel ist die Formfunktion 'x' dieselbe wie die Funktion '0' dieselbe wie die Funktion '-x'. Mit anderen Worten, während der Versuchsraum die Dimension 2 mit exakten Integralen hat, hat der Raum für die Mittelpunktsregel die Dimension 1, obwohl es zwei Freiheitsgrade gibt - das ist die Definition eines Raums, der nicht unlösbar ist.) Für die Mittelpunktsregel ist die Formfunktion 'x' dieselbe wie die Funktion '0' dieselbe wie die Funktion '-x'. Mit anderen Worten, während der Versuchsraum die Dimension 2 mit exakten Integralen hat, hat der Raum für die Mittelpunktsregel die Dimension 1, obwohl es zwei Freiheitsgrade gibt - das ist die Definition eines Raums, der nicht unlösbar ist.)