numerische Integration mit möglicher Division durch 'Null'

Ich versuche mich zu integrieren

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

Das ist eine einfache Transformation von

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- - α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

mit weil es schwierig ist, falsche Integrale numerisch zu approximieren. Dies führt jedoch zu dem Problem der Bewertung des neuen Integranden nahe Null. Es wird sehr einfach sein, die richtige Anzahl von Quadraturknoten zu erhalten, da das Intervall nur die Länge 1 hat (so dass das vergleichbaresehr klein gemacht werden kann), aber welche Art von Überlegungen sollte ich bei der Integration nahe Null machen? $t = \frac1{x}$ $dt$

In gewisser Hinsicht denke ich, dass man einfach ist eine gute Idee, wobeieine kleine Zahl ist. Welche Nummer soll ich jedoch wählen? Sollte es Maschinen-Epsilon sein? Ist die Division durch maschinelles Epsilon eine gut quantifizierte Zahl? Wenn die Teilung meines Maschinen-Epsilons (oder in der Nähe davon) eine unglaublich große Zahl ergibt, dann nehmen Sie $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ wird noch größer. $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Wie soll ich das erklären? Gibt es eine Möglichkeit, ein genau definiertes numerisches Integral dieser Funktion zu haben? Wenn nicht, wie lässt sich die Funktion am besten integrieren?

quadrature accuracy

— drjrm3
quelle

Haben Sie überlegt, Monte Carlo zu verwenden?

— Faheem Mitha

Ich habe das Gefühl, es würde das Problem nicht beheben. Die Monte-Carlo-Integration ist häufig hochdimensionalen Integralen vorbehalten. Ich würde genau die gleichen Probleme mit Monte Carlo haben, ich hätte einfach weniger Kontrolle darüber, wo meine Funktion bewertet wird.

— drjrm3

Du hast vielleicht recht.

— Faheem Mitha

Ich denke, es wäre immer noch gut, eine Antwort (vielleicht auf eine separate, allgemeinere Frage) zu haben, die erklärt, wie man eine numerische Integration durchführt, wenn die Funktion an einer Grenze divergiert, für den allgemeinen Fall, dass es nicht möglich ist, das Integral analytisch durchzuführen. Andererseits könnte das genauso gut in numerischen Rezepten gefunden werden ...

— David Z

@Faheem: "Monte Carlo ist eine extrem schlechte Methode; sie sollte nur verwendet werden, wenn alle alternativen Methoden schlechter sind." - Alan Sokal

— JM

Antworten:

\int_{1}^{\infty} x e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{a} \int_{1}^{\infty} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{e^{- a}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}} e^{- - ein}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{- - ein x} = \frac{- - 1}{ein} x^{k} e^{- - ein x} ∣_{1}^{\infty} - - \frac{- - k}{ein} \int_{1}^{\infty} x^{k - - 1} e^{- - ein x} = \frac{e^{- - ein}}{ein} + \frac{k}{ein} \int_{1}^{\infty} x^{k - - 1} e^{- - ein x}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

ich (k) = \frac{e^{- - ein}}{ein} + \frac{k}{ein} ich (k - - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

— Matt Knepley
quelle

absolut keine ahnung wie ich das übersehen habe. Dankeschön.

— drjrm3

Clevere Substitutionen und Integration durch Teile sollten immer eines der ersten Dinge sein, die Sie mit widerspenstigen Integralen tun.

— JM

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

— Erik P.

Tatsächlich wählt Mathematica die Antwort als ExpIntegralE [-2 n, ar]. Wenn Sie FunctionExpand darauf ausführen, gibt es dieselbe Antwort wie Maple.

— Searke

Schauen Sie sich QUADPACK an . Es verfügt über Routinen für die Integration über (halb-) unendliche Domänen.

— GertVdE
quelle