Wie integriere ich Polynomausdruck über 3D 4-Knoten-Element?

Ich möchte einen Polynomausdruck über ein 4-Knoten-Element in 3D integrieren. In mehreren Büchern zur FEA wird der Fall behandelt, in dem die Integration über ein beliebiges flaches Element mit vier Nicht-Elementen durchgeführt wird. In diesem Fall besteht die übliche Vorgehensweise darin, die Jacobi-Matrix zu finden und ihre Determinante zu verwenden, um die Integrationsbasis auf die normalisierte zu ändern, in der ich die einfacheren Integrationsgrenzen [-1; 1] habe und die Gauß-Legendre-Quadratur-Technik leicht verwendet wird.

Mit anderen Worten $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Aber im 2D-Fall ändere ich das flache willkürliche Element in das flache, aber gut geformte Quadrat 2 mal 2.

Das 3D-Element mit 4 Knoten ist im Allgemeinen nicht flach, aber ich nehme an, es kann immer noch mit einem 2D-Koordinatensystem abgebildet werden, das irgendwie mit dem kartesischen Koordinatensystem zusammenhängt. Ich kann nicht herausfinden, wie man {x, y, z} in Form von {e, n} ausdrückt und wie groß die Jacobi-Matrix in diesem Fall sein würde (sie sollte quadratisch sein).

2D- und 3D-Domänen

finite-element quadrature

— danny_23
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Sie integrieren eine Funktion in eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die in eingebettet ist. $\mathbb{R}^{3}$ . Bücher in der Analyse über Mannigfaltigkeiten (wie Munkres 'zugängliches Buch oder Lees Bücher über Mannigfaltigkeiten) sind hilfreich, um die Theorie zu diskutieren, die diese Art von Integral definiert.

Nehmen wir an, dass eine reelle Funktion ist, die in der Mannigfaltigkeit $f$ $\mathcal{M}$ , die Ihr 3D-Element mit 4 Knoten ist.

Sie möchten berechnen:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Angenommen, ist eine Funktion, die auf abbildet . Dann $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Ich habe diesen Notensatz verwendet , um mein Gedächtnis aufzufrischen.) Oben ist die Jacobi-Matrix von und ist ihre Transponierte. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Sobald Sie das Integral über schreiben können, können Sie es mit numerischen Methoden auswerten. $[-1,1]^{2}$

Einige Kommentare:

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Ihr 4-Knoten-3D-Element eine Vielzahl von Möglichkeiten bietet. Wenn existiert die Funktion (per Definition), ist stückweise stetig (für topologische Mannigfaltigkeiten) und ist invertierbar. Es liegt an Ihnen, eine Funktion mit diesen Eigenschaften zu finden. $\varphi$
Das obige Argument nimmt an, dass eine glatte Mannigfaltigkeit ist, was impliziert, dass es ein , das kontinuierlich differenzierbar ist. In Ihrem Fall ist das von Ihnen beschriebene Element möglicherweise nicht kontinuierlich differenzierbar. Wenn dies zutrifft, könnten Sie Ihren Verteiler wahrscheinlich immer noch in zwei glatte Verteiler unterteilen, und dann gilt das obige Argument immer noch. Auch hier müssen Sie feststellen, dass die Eigenschaften der Invertierbarkeit und kontinuierlichen Differenzierbarkeit erfüllt. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
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Danke vielmals. Das Buch, das ich lese, behandelt nur den Fall, in dem eine quadratische Jacobi-Matrix (2 mal 2) verwendet wird, um die Dinge einfach zu halten. Der obige Ausdruck ermöglicht die Verwendung von Jacobi-Matrizen beliebiger Größe (2 x 3), wenn ich es richtig verstanden habe. Leider bekomme ich immer noch

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

Geoff, das stimmt. Ich habe hier eine einfache allgemeine Formel und ein ausgearbeitetes Beispiel angegeben: theory-physics.net/dev/src/math/integration.html

— Ondřej Čertík