Finite-Differenzen-Schema für "Wellengleichung", Methode der Eigenschaften

Betrachten Sie das folgende Problem bei dem der Forcierterm von ( Formulierung siehe Edit 1 unten) und und seinen ersten Ableitungen abhängen kann . Dies ist eine 1 + 1-dimensionale Wellengleichung. Wir haben Anfangsdaten, die bei .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Ich interessiere mich für die Lösung innerhalb des Bereichs der Abhängigkeit eines Intervalls und erwäge das folgende Finite-Differenzen-Schema.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Das Ziel ist es, durch und in ähnlicher Weise . Dieses Schema ist in dem Sinne integrierbar, dass damit ich aus den Anfangsdaten durch Aufwärtsintegration konsistent berechnen kann ; daher muss ich mir nur die Evolutionsgleichungen für und . $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
Für die Anfangsdaten benötigen wir die Kompatibilitätsbedingung . Was darauf hindeutet, dass ich die Anfangsdaten berechnen kann, indem ich die vorwärts (in ) endliche Differenz von zur Anfangszeit mit den Werten von gegebenem an halbzahligen Punkten . $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

Frage :

Ist das ein bekanntes Schema? Wo finde ich insbesondere eine Analyse dieses Schemas?
Gibt es etwas Offensichtliches, auf das ich achten sollte?

Hintergrund : Stellen Sie sich vor, ich weiß so gut wie nichts (was wahrscheinlich wahr ist, da ich ein reiner Mathematiker bin, der versucht, ein wenig Rechenmaschinerie zu lernen).

Edit 1 : Nur zur Verdeutlichung (um einige Kommentare anzusprechen): Die Gleichung in -Koordinaten wäre und und sind "Nullkoordinaten", die durch (bis zu einigen Renormierungsfaktoren von) gegeben sind 2) und . Die Anfangsdaten bei liegen also tatsächlich bei . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Anstelle eines an angepassten Netzes betrachte ich ein an angepasstes Netz das um 45 Grad gedreht ist. Im Vergleich zu wo ganzzahlige Werte annehmen, kann man sich dass das Netz zusätzliche Punkte aufweist, an denen sowohl (aber nicht nur einer von) als auch ganzzahlige Werte annehmen. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Willie Wong
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Ich bin ein bisschen verwirrt von Ihren Indizes, aber dies scheint mir eine Art Zeitbereichsformulierung mit endlichen Unterschieden zu sein . . . vielleicht mit einer gestaffelten Netzformulierung (halbe Indizes?).

— Meawoppl

@meawoppl: Er ruft einfach seine Variablen anstelle von wie es üblicherweise gemacht wird. (In der üblichen Formulierung werden sie auch in der Raum-Zeit-Ebene um gegen , aber das ist eine separate Sache.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— Wolfgang Bangerth

Ich habe zur Klarstellung bearbeitet (Wolfgang Bangerths Erklärung ist das, was ich mir vorgestellt habe).

— Willie Wong

Antworten:

Es gibt definitiv Literatur zu solchen Schemata. Zwei Schlüsselwörter sind

Modifizierte Methode der Eigenschaften
Semi-Lagrange-Schemata

Nach 20 Minuten googeln: Einige möglicherweise wichtige Artikel sind http://dx.doi.org/10.1137/0719063 und http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (von dort aus vorwärts suchen). Dies sind wahrscheinlich nicht die besten Referenzen, aber sie sollten ein Ausgangspunkt sein, um Sie in die richtige Literatur zu bringen.

Ich betrachte dies als eine gedrehte Methode von Linien mit dimensionaler Aufteilung. Vermutlich sind Sie sich der Äquivalenz Ihrer Gleichung und der üblichen Form der Wellengleichung unter der Transformation sehr gut bewusst Für mich ist es nützlich, an Ihr Schema in Bezug auf diese traditionelle Form der Wellengleichung zu denken. Das Schema integriert sich zuerst entlang eines Satzes von Merkmalen und dann entlang des anderen. Die Integration erfolgt unter Verwendung der Dimensionsaufteilung und der Euler-Methode , die beide genau erster Ordnung sind.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$

Da Sie entlang von Merkmalen integrieren, wäre Ihr Schema natürlich im Fall genau . Das heißt, die numerischen Fehler in Ihrem Schema sind nur auf die numerische Integration von (dies mag offensichtlich sein, ist aber möglicherweise nützlich, um diejenigen hervorzuheben, die an traditionellere numerische Methoden gewöhnt sind). Darüber hinaus ist Ihr Schema für den Fall unbedingt stabil . Über seine Stabilität kann nichts mehr gesagt werden, ohne einige Eigenschaften von . Im Allgemeinen ist das Schema nur unter einer endlichen Schrittgrößenbeschränkung stabil (da die Euler-Methode explizit ist). Wenn der Jacobi von rein imaginäre Eigenwerte hat, ist das Schema instabil. $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$

Der allgemeine Diskretisierungsansatz, eine PDE auf ein ODE-System (wie in Ihrer Methode) zu reduzieren, wird als Linienmethode bezeichnet. Wie bei jeder Methode der Liniendiskretisierung können Sie die Genauigkeitsreihenfolge durch Verwendung eines ODE-Lösers höherer Ordnung erhöhen und die Stabilität durch Verwendung eines geeigneten impliziten ODE-Lösers verbessern (mit der damit verbundenen Erhöhung der Rechenkosten pro Schritt).

— David Ketcheson
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"aber Google wird Ihnen mehr helfen" Eigentlich ist das eines der großen Probleme. Ich bin mir nicht ganz sicher, wofür ich Google verwenden soll (ich vermute, dass in der numerischen Literatur andere Begriffe als in der reinen Literatur verwendet werden). Wenn Sie einige Schlüsselwörter vorschlagen können, nach denen ich suchen sollte, wäre ich Ihnen dankbar. ("Methode der Linien" zum Beispiel weist mich auf eine wahre Fülle von Informationen hin [vielleicht sogar ein bisschen viel, damit ich durchfiltern kann :-)].)

— Willie Wong

@WillieWong - Eine Referenz für hyperbolische Gleichungen, die wir häufig zitieren, sind die Finite-Volumen-Methoden von LeVeque für hyperbolische Probleme . Ich bin mir nicht sicher, ob dies die richtige Referenz für Sie ist, aber es wird Ihnen zumindest eine Einführung in die Begriffe und Techniken auf diesem Gebiet geben.

— Aron Ahmadia

Okay, ich habe einige Schlüsselwörter und Referenzen hinzugefügt. Ich hoffe sie helfen.

— David Ketcheson

Vielen Dank für die Referenzen! Das hat mir einen guten Start gebracht.

— Willie Wong

Ausgehend von der Stelle, an der David Ketcheson mich in seiner Antwort zurückgelassen hat, ergab eine etwas genauere Suche einige historische Notizen.

Das oben skizzierte Schema wurde bereits 1900 von J. Massau in Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles in Betracht gezogen . Das Werk wird 1952 von G. Delporte, Mons.

Die erste (wenn auch kurze) moderne Analyse ihrer Konvergenz und dergleichen wurde von Courant, Friedrichs und Lewy's in ihrer klassischen Arbeit von 1928 in Math gegeben. Ann.

— Willie Wong
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Wow, ich kann nicht glauben, dass ich nicht

— bemerkt