Matrix exponentiell einer Hamiltonschen Matrix

Sei reelle, quadratische, dichte Matrizen. und sind symmetrisch. Lassen $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

sei eine Hamiltonsche Matrix. Ich möchte die Matrix Exponential von berechnen . Ich brauche das Exponential der Vollmatrix, , nicht nur das Matrixvektorprodukt. Gibt es spezielle Algorithmen oder Bibliotheken, um das Exponential einer Hamilton-Matrix zu berechnen? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— Max Behr
quelle

Möchten Sie die Exponentialmatrix selbst oder möchten Sie wirklich nur die ODE

lösen ?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

Ich brauche das Matrix Exponential selbst. Aber äquivalent kann ich die ODE

lösen .

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

Benners strukturerhaltende Eigensolver können sich mit der Ähnlichkeitstransformation befassen, um die exponentielle Matrixberechnung zu vereinfachen.

— Percusse

@RichardZhang Der brutale Weg ist die QZ-Zerlegung. Weitere Informationen finden Sie beispielsweise unter link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 .

— Percusse

Das Papier 19 Zweifelhafte Methoden zur Berechnung des Exponentials einer Matrix, 25 Jahre später, behandelt viele schlechte (und einige gute) Methoden zur Berechnung des Exponentials der Matrix. Es ist nicht spezifisch für Hamilton-Probleme, aber dennoch sehr wertvoll, wenn Sie an solchen Problemen arbeiten.

— Daniel Shapero

Antworten:

Sehr schnelle Antwort ...

Das Exponential einer Hamilton-Matrix ist symplektisch, eine Eigenschaft, die Sie wahrscheinlich beibehalten möchten, andernfalls würden Sie einfach eine nicht strukturerhaltende Methode verwenden. In der Tat gibt es keinen wirklichen Geschwindigkeitsvorteil bei der Verwendung einer strukturierten Methode, sondern nur die Erhaltung der Struktur.

Eine Möglichkeit, Ihr Problem zu lösen, ist die folgende. Zuerst findet eine symplektischer Matrix , so daß Hamilton - Operator ist und oberes Dreieck Block und hat Eigenwert in der linken Halbebene. Sie erhalten diese Matrix zum Beispiel, indem Sie , wobei die mit verbundene Riccati-Gleichung löst $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ oder (stabiler, da es orthogonal ist) durch Neuordnung der Schur-Zerlegung von und Anwenden des Laub-Tricks (dh Ersetzen des einheitlichen Schur-Faktors durch ). Möglicherweise haben Sie Probleme damit, wenn der Hamilton-Operator Eigenwerte auf der imaginären Achse hat, aber das ist eine lange Geschichte, und ich gehe davon aus, dass dies bei Ihrem Problem nicht der Fall ist. $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

Sobald Sie haben , haben Sie , und kann man berechnen wobei löst eine bestimmte Lyapunov - Gleichung, ich so etwas wie glauben $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

(Zeichen können falsch sein; verhängen

und erweiternblockieren die richtige Gleichung zu erhalten. Suchen Sie nach "Schur-Parlett-Methode", um einen Hinweis auf diesen Trick zu erhalten.

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

Dann sind die drei Faktoren genau symplektisch. Verwenden Sie sie einfach separat: Berechnen Sie das Produkt nicht, sonst verlieren Sie diese Eigenschaft numerisch.

— Federico Poloni
quelle

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ stammen aus einer Integralgleichung, die auch ihre dichte Struktur und ihr Kompressionspotential (abhängig vom Kernel) erklärt.

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

Nachteile dieses Ansatzes:

$A$ $G$ $Q$
nutzt die Hamiltonsche Struktur nicht aus

Positiv:

Die komprimierte Darstellung der Matrix ist exponentiell, obwohl es sich immer noch um eine Matrix handelt, und nicht nur um einen MVP
linear-logarithmische Komplexität (vorausgesetzt, die Annahme mit niedrigem Rang ist vorhanden)
Die Bibliothek kann die Transposition und Symmetrie in den Blöcken nutzen

— Anton Menschow
quelle