Riesiges dichtes lineares System lösen?

Gibt es Hoffnung, das folgende lineare System mit einer iterativen Methode effizient zu lösen?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

mit

$A=(\Delta - K)$ , wobei$\Delta$ eine sehr spärliche Matrix mit einigen Diagonalen ist, die sich aus der Diskretisierung des Laplace-Operators ergibt. Auf der Hauptdiagonale gibt es$-6$ und es gibt$6$ andere Diagonalen mit$1$ darauf.

$K$ ist eine vollständige$\mathbb{R}^{n \times n}$ Matrix, die vollständig aus Einsen besteht.

Das Lösen von $A=\Delta$ funktioniert gut mit iterativen Methoden wie Gauß-Seidel, da es sich um eine spärliche diagonal dominante Matrix handelt. Ich vermute, dass das Problem $A=(\Delta - K)$ für eine große Anzahl von so gut wie unmöglich effizient zu lösen ist $n$, aber gibt es einen Trick, um es vielleicht zu lösen und die Struktur von auszunutzen $K$?

EDIT: Würde so etwas machen

$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // lösemit Gauß-Seidelnach$x^{k+1}$

zur richtigen Lösung konvergieren? Ich habe gelesen, dass eine solche Aufteilungsmethode konvergiert, wenn , wobei ρ die Spektralnorm ist. Ich habe die Eigenwerte von Δ - 1 K für einige verschiedene kleine Werte von n manuell berechnet und sie sind alle Null mit Ausnahme desjenigen, der einen ziemlich hohen negativen Wert hat. (ungefähr ~ 500 für n = 256 ) Ich denke, das würde nicht funktionieren.$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

EDIT: Weitere Informationen zu $\Delta$ :

ist symmetrisch und negativ bestimmt und diagonal dominant.$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Es wird folgendermaßen in matlab erstellt

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Verwenden Sie das umrandete System

Dabei ist ein Spaltenvektor, der aus allen besteht und das System löst$\ee$

Verwenden eines iterativen oder direkten Lösers.

• Verwenden Sie eine Krylov-Methode und wenden Sie die Matrix als (dh spärliche Matrix plus Rang-1-Korrektur. Verwenden Sie Ihren vorhandenen Vorkonditionierer oder Aktualisieren Sie diese mit der Sherman-Morrison-Formel , insbesondere wenn Sie eine direkte Lösung mit möchten .Δ - e e T P - 1 ≈ Δ - 1$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$