Der Raum für Lagrange-Multiplikatoren ist in mathematischer Sicht zu reichhaltig

Hintergrund:

Das Lagrange-Multiplikatorverfahren wurde in zahlreichen Bereichen eingesetzt, wie z. B. Kontaktproblemen, Materialgrenzflächen, Phasentransformation, steifen Bedingungen oder Gleiten entlang von Grenzflächen.
Es ist bekannt, dass eine schlechte Wahl oder ein schlechtes Design des Lagrange-Multiplikatorraums bei Lagrange-Multiplikatoren zu oszillierenden Ergebnissen (instabiles Problem) führt. Eine große Menge an Literatur hat diese Beobachtung veranschaulicht, und es wurden einige Modifikationen oder Verbesserungen vorgenommen, um Schwingungen zu entfernen, die typischerweise durch Abweichung des Inf-Sup-Zustands auftreten.

Frage:

Beim Lesen von Literatur zu XFEM bin ich auf das rot hervorgehobene Argument gestoßen, das ziemlich mathematisch ist. Wie kann man den Raum interpretieren oder verstehen, der lokal zu reich ist und infolgedessen die Inf-Sup-Bedingung verletzt wird? Vielen Dank für jeden Beitrag.

$$\begin{bmatrix} A & B^T \\ B \end{bmatrix},$$ $A$$B$

$B$$B$

Krendl, Wolfgang, Valeria Simoncini und Walter Zulehner. "Stabilitätsschätzungen und strukturelle spektrale Eigenschaften von Sattelpunktproblemen." Numerische Mathematik 124.1 (2013): 183 & ndash; 213. https://arxiv.org/pdf/1202.3330.pdf

$B$

$B$

$$B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ & 1/2 & 1/2 \\ & & 1/2 & 1/2 \\ &&& \ddots& \ddots \end{bmatrix}$$

$B$

$$\underbrace{\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & -1 &\dots\end{bmatrix}}_{\text{large norm}} ~B = \underbrace{\begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0 & \dots\end{bmatrix}}_{\text{small norm}}$$

$B$

Jeder Lagrange-Multiplikator entspricht einer Einschränkung. Wenn also der Raum der Lagrange-Multiplikatoren zu groß ist, gibt es zu viele Einschränkungen, die nicht mehr alle gleichzeitig erfüllt werden können, ohne die Anzahl der verfügbaren Unbekannten erheblich zu beschränken, um die Physik des Problems zu erfüllen. Dies geschieht beim Sperren: Jede Einschränkung reduziert die Anzahl der Unbekannten um eins, und Sie haben zu wenige Unbekannte, um physisch korrekt zu sein.