Warum ist in der FEM die Steifheitsmatrix positiv eindeutig?

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In FEM-Klassen ist es normalerweise selbstverständlich, dass die Steifheitsmatrix eindeutig positiv ist, aber ich kann einfach nicht verstehen, warum. Könnte jemand eine Erklärung geben?

Zum Beispiel können wir das Poisson-Problem betrachten: dessen Steifheitsmatrix lautet: welches ist symmetrisch und positiv bestimmt. Symmetrie ist eine offensichtliche Eigenschaft, aber die positive Bestimmtheit ist für mich nicht so explizit.

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— user123
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Dies hängt tatsächlich von der partiellen Differentialgleichung ab, die Sie zu lösen versuchen. Können Sie die hinzufügen, die Sie interessiert?

— Christian Clason

Hallo, @ChristianClason, danke für deinen Kommentar. Ich habe ein konkretes Beispiel für dieses Problem hinzugefügt.

— Benutzer123

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Vorsichtsmaßnahme: Ohne Randbedingungen hat die aus Elementmatrizen zusammengesetzte vollständige Systemsteifigkeitsmatrix nicht den vollen Rang, da sie das Äquivalent von Starrkörperbewegungen auf Nullkräfte abbilden muss. Somit kann die vollständige Steifheitsmatrix bestenfalls positiv semidefinit sein. Bei geeigneten Randbedingungen werden jedoch Starrkörperbewegungen deaktiviert, und das eingeschränkte System ist dann nicht singulär. (Sonst könnte man es nicht lösen). Um eine tatsächliche positive Bestimmtheit zu finden, müssen Sie daher die kondensierte Matrix betrachten, die sich aus der Anwendung von Randbedingungen ergibt.

— Ccorn

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Die Eigenschaft folgt aus der Eigenschaft der entsprechenden (schwachen Form der) partiellen Differentialgleichung; Dies ist einer der Vorteile von Finite-Elemente-Methoden im Vergleich zu z. B. Finite-Differenzen-Methoden.

Um dies zu sehen, erinnern Sie sich zunächst daran, dass die Finite-Elemente-Methode von der schwachen Form der Poisson-Gleichung ausgeht (ich hier Dirichlet-Randbedingungen an): Finden Sie so, dass Die wichtige Eigenschaft hierbei ist, dass (Dies folgt aus Poincarés Ungleichung.) $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Der klassische Finite-Elemente-Ansatz besteht nun darin, den unendlichdimensionalen Raum durch einen endlichdimensionalen Unterraum und so zu finden, dass Die wichtige Eigenschaft hier ist dass Sie dasselbe und einen Unterraum (eine konforme Diskretisierung); das bedeutet, dass Sie noch $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Nun zum letzten Schritt: Um die Variationsform in ein lineares Gleichungssystem wählen Sie eine Basis von und schreiben Sie und , in . Die Steifheitsmatrix dann die Einträge (was mit dem übereinstimmt, was Sie geschrieben haben). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Nehmen Sie nun einen beliebigen Vektor und setzen Sie . Dann haben wir durch und die Bilinearität von (dh Sie können Skalare und Summen in beide Argumente verschieben) Da willkürlich war, impliziert dies, dass positiv definitiv ist. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: Die Steifheitsmatrix ist positiv definitiv, weil sie aus einer konformen Diskretisierung einer (selbstadjunkten) elliptischen partiellen Differentialgleichung stammt .

— Christian Clason
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Wenn die Steifheit des Elements nicht positiv ist, ist das System nicht stabil. Das Modell ist also höchstwahrscheinlich nicht korrekt. Schauen Sie sich die grundlegendste Gleichung des harmonischen Oszillators an

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

Die Lösung ist instabil, wenn negativ ist (siehe die Wurzeln der charakteristischen Gleichung). Dies bedeutet, dass die Lösung explodiert. Die Steifheit muss eine Rückstellkraft sein. Zumindest für eine physische Feder. Die Steifheitsmatrix erweitert dies auf eine große Anzahl von Elementen (globale Steifheitsmatrix). Das ist alles. Aber es ist die gleiche Grundidee. Die FEM-Basis liegt in der Steifheitsmatrixmethode für die Strukturanalyse, bei der jedem Element eine Steifheit zugeordnet ist. $k$

— Nasser
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