Projizieren des Nullraums von

Angesichts des Systems in dem A ∈ R n × n ist , habe ich gelesen, dass bei Verwendung der Jacobi-Iteration als Löser die Methode nicht konvergiert, wenn b eine Nicht-Null-Komponente im Nullraum von A hat . Wie könnte man also formal sagen, dass die Jacobi-Methode nicht konvergent ist , vorausgesetzt, dass b eine Nicht-Null-Komponente hat, die den Nullraum von A überspannt ? Ich frage mich, wie das mathematisch formalisiert werden könnte, da ein Teil der zum Nullraum orthogonalen Lösung konvergiert.

$$Ax=b,$$ $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$b$$A$$b$$A$

Durch Konjizieren des Nullraums von aus jeder Iteration konvergiert er daher (oder?).$A$

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Ich interessiere mich besonders für den Fall von bei dem L eine symmetrische Laplace-Matrix ist, deren Nullraum von einem Vektor 1 n = [ 1 … 1 ] T ∈ R n überspannt wird und b eine Nullkomponente in hat der Nullraum von L , J b = b , wobei J = I -

$$Lx=b,$$ $L$$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$$b$$L$ $$Jb=b,$$ ist die Zentrierungsmatrix. Bedeutet das, dass bei jeder Jacobi-Iteration der Nullraum vonLprojiziert wird, dh jede Iteration wirdzentriert? Ich frage diesda dann gäbe es keine Notwendigkeit, den Nullraum von Projekt ausLvon Jacobi iteriert (oder, mit anderen Worten, zuzentrierendie iteriert).$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$$L$$L$

$A$$A$$A^T$$A^Tu=0$$Ax=b$$u^Tb=u^TAx=0$$b$$A^T$

Aber wenn dies der Fall ist, gibt es eine Lösung, und im quadratischen Fall gibt es unendlich viele.

Im Einzelfall würde man das Problem typischerweise als Problem der kleinsten Quadrate lösen, da man nie weiß, ob diese Bedingung erfüllt ist (und es würde sowieso durch Rundung verdorben). Verwenden Sie konjugierte Gradienten für die normalen Gleichungen, um die minimale Normlösung zu finden. Dies erfordert, dass Sie die Multiplikation mit und mit A T codieren . (Wenn nur eine Routine zum Multiplizieren mit A gegeben ist , könnte man stattdessen GMRES mit weniger vorhersehbaren Konvergenzeigenschaften verwenden.)$A$$A^T$$A$