Wie kann festgestellt werden, ob eine numerische Lösung für eine PDE zu einer Kontinuumslösung konvergiert?

Der Lax-Äquivalenzsatz besagt, dass die Konsistenz und Stabilität eines numerischen Schemas für ein lineares Anfangswertproblem eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Konvergenz ist. Bei nichtlinearen Problemen können numerische Methoden sehr plausibel zu falschen Ergebnissen konvergieren, obwohl sie konsistent und stabil sind. Diese Arbeit zeigt zum Beispiel, wie eine Godunov-Methode erster Ordnung, die auf die 1D-linearisierten Flachwassergleichungen angewendet wird, zu einer falschen Lösung konvergiert.

Offensichtlich ist die Selbstkonvergenz unter Verfeinerung des Netzes und des Zeitschritts nicht ausreichend, aber für nichtlineare PDEs sind im Allgemeinen keine genauen Lösungen verfügbar. Wie kann man also feststellen, ob eine numerische Methode zu einer echten Lösung konvergiert?

pde stability convergence

— Jed Brown
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Die so genannte Method of Manufactured Solutions stellt für alle Probleme exakte Lösungen zur Verfügung. Es ist möglicherweise nicht in der Lage, die von Ihnen beschriebenen problematischen Lösungen zu generieren, aber es ist nicht der Fall, dass genaue Lösungen niemals verfügbar sind.

— Bill Barth

Ich denke, dass dies hier schwierig ist, da Sie eine Lösung mit der Art von Diskontinuität erraten müssten, die durch die Lösungsmethode nicht gut angenähert wird.

— Matt Knepley

Ich stimme zu, dass es wahrscheinlich schwierig ist, Lösungen zu finden, die die von Jed erwähnten problematischen Modi anregen. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass immer exakte Lösungen zum Testen zur Verfügung stehen. Ich weiß nicht, was passiert, wenn Sie eine Lösung für die 1D-linearisierten Flachwassergleichungen erstellen, indem Sie beispielsweise eine Mischung aus Trigger- und Exponentialfunktionen (typisch für MoM-exakte Lösungen) verwenden, die Kurbel drehen, um die entsprechenden Quellenterme zu erhalten, und dann ausführen sie durch ein Godunov-Schema 1. Ordnung. Vielleicht kann es jeder probieren und sich melden.

— Bill Barth

MoM ist ein großartiges Werkzeug, aber in diesem Fall besteht das Problem darin, dass die Diffusion innerhalb eines Schocks falsch angewendet wird. An allen anderen Stellen ist es akzeptabel, dass die Diffusion bei jeder Gleichung gleichermaßen gegen Null konvergiert, während die Diffusion bei einem Schock nicht gegen Null konvergiert. Daher führt die Anwendung der numerischen Diffusion bei jedem Term gleichermaßen zu einer falschen Dynamik. Ich werde eine lange Antwort auf diese Frage schreiben, wenn ich Zeit habe, wenn mich niemand schlägt.

— Jed Brown

@Jed, sollte LET nicht auf die linearisierten Gleichungen angewendet werden?

— Matt Knepley

Antworten:

In diesem Zusammenhang sind zwei Hauptklassen von Lösungen zu erörtern.

"Ausreichend" Reibungslose Lösungen

In Strangs klassischer Arbeit wird gezeigt, dass das Lax-Äquivalenz-Theorem (dh die Idee, dass Konsistenz plus Stabilität Konvergenz impliziert) sich auf nichtlineare PDE-Lösungen erstreckt, wenn sie eine bestimmte Anzahl kontinuierlicher Derivate aufweisen . Beachten Sie, dass dieses Papier sich auf hyperbolische Probleme konzentriert, das Ergebnis sich jedoch auf parabolische Probleme überträgt. Die Anzahl der benötigten Derivate ist ein technischer Punkt, aber dieser Ansatz ist normalerweise auf Lösungen anwendbar, die die PDE in starkem Sinne erfüllen.

Diskontinuierliche Lösungen

Im anderen Extremfall haben wir PDE- "Lösungen" mit Diskontinuitäten , die typischerweise aus nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgesetzen resultieren . In dieser Situation kann natürlich nicht gesagt werden, dass die Lösung die PDE im engeren Sinne zufriedenstellt, da sie an einem oder mehreren Punkten nicht differenzierbar ist. Stattdessen muss der Begriff der schwachen Lösung eingeführt werden, der im Wesentlichen die Erfüllung eines integralen Erhaltungsgesetzes durch die Lösung voraussetzt.

In diesem Fall ist es auch schwieriger, die Konvergenz einer Folge von Lösungen zu beweisen , da die -Stabilität nicht ausreicht. In der Regel muss die Sequenz so dargestellt werden, dass sie auf einem kompakten Raum liegt, wie z. B. die Menge von -Funktionen mit einer begrenzten maximalen Gesamtvariation. $L_p$ $L_\infty$

Wenn gezeigt werden kann, dass die Sequenz zu etwas konvergiert, und wenn die Methode konservativ ist, dann garantiert das Lax-Wendroff-Theorem, dass es zu einer schwachen Lösung des Erhaltungsgesetzes konvergiert. Allerdings sind solche Lösungen nicht eindeutig zuzuordnen . Um festzustellen, welche schwache Lösung "richtig" ist, sind Informationen erforderlich, die nicht in der hyperbolischen PDE enthalten sind. Im Allgemeinen werden hyperbolische PDEs erhalten, indem parabolische Terme in einem Kontinuumsmodell vernachlässigt werden, und die richtige schwache Lösung kann davon abhängen, welche parabolischen Terme verworfen wurden (dieser letzte Punkt ist der Schwerpunkt des in der obigen Frage verknüpften Artikels ).

Dies ist ein reiches und komplexes Thema, und die mathematische Theorie ist bei weitem nicht vollständig. Die meisten Konvergenz-Proofs sind für 1D-Probleme und basieren auf speziellen Techniken. Somit können fast alle tatsächlichen rechnerischen Lösungen der hyperbolischen Erhaltungsgesetze in der Praxis nicht als mit den vorhandenen Werkzeugen konvergent nachgewiesen werden. Für eine praktische Diskussion aus rechnerischer Sicht siehe das Buch von LeVeque (Kapitel 8, 12 und 15); Für eine genauere und detailliertere Behandlung würde ich Dafermos vorschlagen .

— David Ketcheson
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Ich habe hier nur wenig beizutragen, als darauf hinzuweisen, dass numerische Methoden, die Probleme mit hyperbolischen Gleichungen haben (und zur falschen Lösung konvergieren), normalerweise nicht auf Schocks beruhen. Vielmehr sind die Bereiche, mit denen sie Schwierigkeiten haben, Verdünnungswellen - bei denen die Lösung glatt ist.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
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Dies ist ein ausgezeichneter Punkt, obwohl er im engeren Sinne orthogonal zur Frage ist. Sie sprechen das Problem der Konvergenz zur richtigen schwachen Lösung an, das in der Praxis in der Tat problematischer ist als das Problem der Konvergenz zu einer schwachen Lösung.

— David Ketcheson