Finite-Elemente-Konvergenzraten für gemischte Probleme

Ich habe ein Stokes Flow-Problem mit finiten Elementen codiert und bin dabei zu überprüfen, ob es funktioniert. Ich bin mir nur nicht sicher, welche Konvergenzrate ich erwarten sollte, wenn ich das Netz global verfeinere.

Ich weiß, dass ich für skalare Probleme mit linearen Basisfunktionen eine Konvergenz der Ordnung $h^2$ ( $h$ ist die Elementgröße) und mit quadratischen Basisfunktionen eine Konvergenz der Ordnung $h^3$ in der $L^2$ -Norm und eine Potenz weniger in der erwarten würde $H^1$ Seminorm. Das Problem, das ich jetzt habe, ist, dass ich beim Codieren des Stokes-Flusses das Taylor-Hood-Element verwendet habe, das Linien für den Druck und Quadrat für die Geschwindigkeitskomponenten verwendet. Ist es so einfach wie die bei konvergierenden Geschwindigkeiten $h^3$ und der Druck bei $h^2$ ?

Ich habe dies zuerst auf mathoverflow gepostet und mir wurde gesagt, dass es möglicherweise besser für dieses Forum geeignet ist.

pde finite-element convergence

— Lukas Bystricky
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\begin{matrix} (1) & ‖ u - u_{h} ‖_{V} + ‖ p - p_{h} ‖_{M} \leq C (inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{V} + inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{M}), \end{matrix}

$\|u-u_h\|_V + \|p-p_h\|_M \leq C (\inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V + \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_M), \tag{1}$

(u, p) \in V \times M

$(u,p)\in V\times M$

(u_{h}, p_{h}) \in V_{h} \times M_{h}

$(u_h,p_h)\in V_h\times M_h$

V = H_{0}^{1} (Ω)^{d}

$V=H^1_0(\Omega)^d$

M = L^{2} (Ω)

$M = L^2(\Omega)$

P_{2}

$P_2$

P_{1}

$P_1$

V_{h}

$V_h$

M_{h}

$M_h$ von stetigen stückweise linearen Polynomen, für die beide Terme auf der rechten Seite durch quadratische Approximationsfehler unter Verwendung von Standardargumenten (z. B. Bramble-Hilbert-Lemma und Transformationsregeln) begrenzt werden können: (Faustregel "Anzahl der Ableitungen links Potenzen von Anzahl der Ableitungen auf der rechten Seite"). Das Einfügen in ergibt (vorausgesetzt, die genaue Lösung ist tatsächlich regelmäßig genug).

\begin{aligned} inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{H^{1}} & \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}} \\ inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{L^{2}} & \leq C h^{2} ‖ p ‖_{H^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_{H^1} &\leq C h^2\|u\|_{H^3}\\ \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_{L^2} &\leq C h^2\|p\|_{H^2}\\ \end{aligned}$

+

$+$

h

$h$

=

$=$

(1)

$(1)$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}}) .

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2}).$

Da sowohl das kontinuierliche als auch das diskrete Stokes-Problem ein oberes dreieckig gekoppeltes lineares System der Form der Fehlerschätzung sind (die ausnutzt) daß die Differenz der Lösungen ein ähnliches System für erfüllen und und die Umkehrbarkeit von Verwendungen auf dem Kern ) für hängt von dem Fehler in im allgemeinen .

\begin{aligned} A u + B^{*} p & = f \\ B u & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} Au + B^* p &= f\\ Bu &=0\end{aligned}$

A_{h}

$A_h$

B_{h}

$B_h$

A

$A$

B

$B$

u - u_{h}

$u-u_h$

p - p_{h}

$p-p_h$

Wenn Sie sich jedoch den Beweis ansehen, gibt es eine Lücke: Wenn der Nullraum von im Nullraum von ist, fällt der Kopplungsterm tatsächlich aus und Sie erhalten eine Fehlerschätzung, an der nur : Von dort aus können Sie den Standard-Aubin-Nitsche-Trick anwenden (wenn die adjungierte Gleichung gut aufgestellt ist, Dies ist der Fall, wenn die Domäne regelmäßig genug ist - ein konvexes Polygon in 2D oder eine Grenze, die durch eine differenzierbare Lipschitz-Funktion parametrisiert werden kann), um eine Konvergenzrate für den -Fehler einer Ordnung höher zu erhalten: $B_h$ $B$ $u$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{H^1} \leq C h^2 \|u\|_{H^3}$

Ω

$\Omega$

L^{2}

$L^2$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{3} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{L^2} \leq C h^3 \|u\|_{H^3}$

Sie finden diese Ergebnisse in Ern, Guermond: Theorie und Praxis finiter Elemente , Springer, 2004 . (Die Fehlerschätzungen werden in Satz 4.26 gesammelt, während die notwendige Regelmäßigkeit für in Lemma 4.17 definiert ist. Die Beweise sind leider über das Buch verteilt, und ich denke, wird nirgends explizit überprüft.) $\Omega$ $\ker B_h\subset \ker B$

— Christian Clason
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Es sieht so aus, als hätten Sie viel Arbeit in die Zusammenstellung dieser Antwort gesteckt. Ich weiß das wirklich zu schätzen. Können Sie klarstellen, woher Sie die Schätzung haben: , oder ist das nur gegeben?

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}})

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2})$

— Lukas Bystricky

Kein Problem, froh, wenn es hilfreich ist. Die Schätzung ergibt sich aus dem Einfügen der Standardinterpolationsfehler in die erste Schätzung; Ich habe diesen Schritt hinzugefügt.

— Christian Clason

Experimentell (unter Verwendung einer Boxdomäne, die nicht durch eine differenzierbare Funktion parametrisiert werden kann) erhalte ich eine Konvergenz in und eine Konvergenz in für das gesamte System.

h^{2}

$h^2$

L^{2}

$L^2$

h

$h$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky

Hmm, dann habe ich im Moment keine große Idee. Dies ist wirklich eher eine neue Frage, für deren Beantwortung die mit Stokes-Problemen vertrauten Personen besser gerüstet sind. Warum stellen Sie nicht eine neue Frage (verwenden Sie den unten stehenden Link), in der Sie genau beschreiben, welches Problem Sie lösen (rechte Seite, Randbedingungen, Geometrie, genaue Lösung), was Sie erwarten und was Sie stattdessen erhalten ? (Wenn der Deal.II-Code klein genug ist, können Sie das auch posten; einige der Hauptentwickler leisten hier häufig Beiträge.)

— Christian Clason

Es stellt sich heraus, dass ich die falschen Komponenten in meiner Lösung untersucht habe. Wenn ich mir die richtigen Komponenten ansehe, erhalte ich in und in für die Geschwindigkeiten und 1 Leistung weniger für den Druck.

h^{3}

$h^3$

L^{2}

$L^2$

h^{2}

$h^2$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky