Der Effekt der Entkopplung eines gekoppelten Systems von PDEs

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Ich habe vorher eine etwas ähnliche Frage gestellt, aber vielleicht war sie zu spezifisch, als dass jemand sie wirklich beantworten könnte. Hier ist eine etwas allgemeinere Frage, mit der ich zu kämpfen habe. Betrachten Sie das folgende System:

- \nabla \cdot (D_{1} (u_{2}) \nabla u_{1}) = \nabla \cdot f_{1} (u_{2})

$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2})\nabla u_{1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2})$

\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla \cdot f_{2} (u_{1}, u_{2}) - \nabla \cdot (D_{2} (u_{2}) \nabla u_{2}) = 0

$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2})\nabla u_{2}) = 0$

unter der Annahme einer allgemeinen Menge von BCs:

u_{i} = u_{i, D}, on Γ_{D}

$u_{i} = u_{i,D}, \;\;\;\text{on}\;\Gamma_{D}$

D_{i} \nabla u_{i} \cdot n = u_{i, N}, on Γ_{N}

$D_{i}\nabla u_{i}\cdot\mathbf{n} = u_{i,N}, \;\;\;\text{on} \;\Gamma_{N}$

Verwendung von DGFEM für räumliche Diskretisierungen und Rückwärts-Euler für die Zeitableitung. Wir entkoppeln uns so:

Löse nach mit : $u_{1}^{k+1}$ $u_{2}^{k}$
$- \nabla \cdot (D_{1} (u_{2}^{k}) \nabla u_{1}^{k + 1}) = \nabla \cdot f_{1} (u_{2}^{k})$ $-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2}^{k})\nabla u_{1}^{k+1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2}^{k})$
Löse nach mit : $u_{2}^{k+1}$ $u_{1}^{k+1}$
$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla \cdot f_{2} (u_{1}^{k + 1}, u_{2}^{k}, u_{2}^{k + 1}) - \nabla \cdot (D_{2} (u_{2}^{k + 1}) \nabla u_{2}^{k + 1}) = 0$ $\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2}^{k+1})\nabla u_{2}^{k+1}) = 0$

Die Newtonsche Methode wird verwendet, um die Nichtlinearität zu behandeln.

f_{2} (u_{1}, u_{2}) = u_{2} (- \nabla u_{1} + u_{2} \nabla u_{2})

$\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) = u_{2}(-\nabla u_{1} + u_{2}\nabla u_{2})$

damit

f_{2} (u_{1}^{k + 1}, u_{2}^{k}, u_{2}^{k + 1}) = u_{2}^{k + 1} (- \nabla u_{1}^{k + 1} + u_{2}^{k} \nabla u_{2}^{k})

$\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k})$

$\mathbf{f}_{2}$ $u_{1}^{k+1}$ $u_{2}^{k}$ $u_{2}^{k+1}$ $\mathbf{f}_{2}$ $u_{2}^{k}$ $-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k}$

$\mathbf{f}_{2} = \mathbf{f}_{2}(u_{1,\text{exact}}^{k+1}, u_{2}^{k+1}, u_{2,\text{exact}}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1,\text{exact}}^{k+1} + u_{2,\text{exact}}^{k+1}\nabla u_{2,\text{exact}}^{k+1})$

Wird diese suboptimale Leistung im ersten Szenario angesichts der Entkopplung erwartet? Ich weiß, dass die Entkopplung den Zeitschritt begrenzt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass ich den Zeitschritt ausreichend klein nehme.

$\mathbf{f}_{2}$ $u_{2}\nabla u_{2}$ $u_{1}^{k+1}$

Ich hatte nicht viel Literatur darüber finden können, welche Auswirkungen die Entkopplung auf die Konvergenz haben würde. Wenn mich also jemand in die richtige Richtung weisen oder Ratschläge geben könnte, wäre das großartig.

pde finite-element reference-request

— Justin Dong
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Sie entkoppeln sie nicht - Sie wenden eine Aufteilungsmethode an.

— David Ketcheson

Danke für die Korrektur. Ich habe diese Frage nicht vergessen und arbeite nur noch daran. Ich werde aktualisieren, wenn es funktioniert ...

— Justin Dong

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Dies ist definitiv das, was als Aufteilungsschema bekannt ist und sowohl in der nichtlinearen Optik als auch in Quantensimulationen sehr beliebt ist. Ein Beispiel ist die Dirac-Gleichung, aber Sie können dies auch auf nichtlinearen PDES tun.

$u_1^{k+1}$ $u_2^k$ $u_1^{k+1}$ $u_2^{k+1}$

$u_1$ $u_2$ $u_1$ $u_2$ $Lu_1$ $f=\nabla \cdot f_2(u_2)$ $G(x;u_2)$ $LG=\delta(x-s)$ $u_1$

$u_1=\int_{\Omega} G((x-s);u_2)fds$

$u_2^{k+1}$ $u_1^{k+1}$ $u_2^{k+1}$

Es gibt definitiv Flexibilität bei dieser Entkopplung oder Aufteilung, obwohl dies zu einem schönen Schema in Ihren Gleichungen führen könnte. Eine schöne Einführung in die Aufteilung in dem Kontext, an dem Sie interessiert sind, finden Sie in Kapitel 13 'Aufteilung und ihre Verwandten' von Boyd 'Chebyshev- und Fourier-Spektralmethoden'.

Hoffe das hilft

— Mike MacNeil
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Es ist ein bisschen schwer zu sagen, ohne genau zu wissen, welche PDE Sie lösen. Das heißt, ein paar Orte, um vielleicht zu schauen, sind

Für gekoppelte lineare Systeme sind Uzawa-Methoden und erweiterte Lagrange-Methoden Beispiele für allgemeine Aufteilungsschemata. Es sind Ergebnisse bezüglich der Konvergenz dieser Methoden bekannt, die auf den Spektren der Blöcke und dem Schur-Komplement des gekoppelten Blocksystems basieren (siehe Bramble et al. Zur Lösung von Sattelpunktproblemen).
Es gibt eine Fülle von Materialien zu verschiedenen Aufteilungsmethoden für PDEs. Obwohl diese weitgehend für lineare Probleme formuliert sind, gibt es reichlich Verwendung und Theorie für ihre Erweiterung auf nichtlineare Gleichungen - zumindest für die nichtlinearen PDEs, die Arten von Konvektionsdiffusion und inkompressiblem Fluss regeln, haben Aufteilungs- / Projektionsschemata eine ziemlich reiche Geschichte .

$u_1$ $u_2$ $u_1$ $u_2$

— Jesse Chan
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