Implementierung der Jacobi-Davidson-Methode für das kubische Eigenwertproblem

Ich habe ein großes kubisches Eigenwertproblem:

({EIN}_{0} + λ {EIN}_{1} + λ^{2} {EIN}_{2} + λ^{3} {EIN}_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Ich könnte dies lösen, indem ich in ein lineares Eigenwertproblem konvertiere, aber es würde zu einem System so groß ist: $3^2$

[\begin{matrix} - - {EIN}_{0} & 0 & 0 \\ 0 & ich & 0 \\ 0 & 0 & ich \end{matrix}]] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]] = λ [\begin{matrix} {EIN}_{1} & {EIN}_{2} & {EIN}_{3} \\ ich & 0 & 0 \\ 0 & ich & 0 \end{matrix}]] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

Dabei ist und . Welche anderen Techniken stehen zur Lösung eines kubischen Eigenwertproblems zur Verfügung? Ich habe gehört, dass es eine Version von Jacobi-Davidson gibt, die das Problem lösen wird, aber keine Implementierung gefunden hat. $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

Außerdem muss ich in der Lage sein, bestimmte Eigenwerte ähnlich der Shift-and-Invert-Methode von ARPACK anzuvisieren und die zugehörigen Eigenvektoren zu finden.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
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Was sind die Dimensionen der beteiligten Matrizen?

— Bill Barth

ist Ordnung

. Ich habe zwei verschiedene Formulierungen dieses Problems, eine, in der

dicht und in der anderen spärlich ist.

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

10000 \times 10000

$10000\times 10000$

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

— OSE

SLEPc verfügt über Routinen für quadratische Eigenwertprobleme und nichtlineare Eigenwertprobleme, sodass Sie möglicherweise dort finden, was Sie benötigen. Es verfügt auch über Shift-and-Invert-Funktionen und eine Schnittstelle zu ARPACK.

— Geoff Oxberry

Mit dem umgekehrten Kommunikationsprotokoll von ARPACK müssen Sie die Matrix nicht explizit speichern : Sie müssen nur zwei Funktionen bereitstellen, die berechnen: $3n \times 3n$

und $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

$3\times n$

$x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— BrunoLevy
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