Kompakte Beschreibung des Satzes aller Stabilisatorgruppen für eine feste Anzahl von physischen Qubits und codierten logischen Qubits

Fix $n$ , die Anzahl der Qubits und , die Anzahl der codierten logischen Qubits. Wir können eine Reihe von Operatoren finden, die alle gegenseitig pendeln und darüber hinaus eine Gruppe . Nehmen wir an, dass die Gruppe eine Untergruppe der Pauli-Gruppe ist. Mit diesen Operatoren können wir einen -Vektorraum fixieren . $k$ $(n-k)$ $S$ $S$ $2^{n-k}$

Betrachten Sie nun alle auf diese Weise gebildeten Stabilisatorgruppen , die Qubits in codieren , und betrachten Sie die Menge , wobei eine spezifische ist Stabilisatorgruppe, die einen dimensionalen Vektorraum stabilisiert . Wie kann ich diesen Satz explizit parametrisieren? Zum Beispiel: Für und könnten wir und usw. für andere unterschiedliche Stabilisatorgruppen haben. $S_i$ $k$ $n$ $\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$ $S_i$ $2^{n-k}$ $n=3$ $k=1$ $S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$ $S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$

Ein möglicher Weg zu einer Lösung besteht darin, die Paritätsprüfungsmatrix für ein bestimmtes und dann zu fragen, welche Gruppenaktion wir für die Paritätsprüfungsmatrix von definieren könnten, um die Paritätsprüfungsmatrix für jede andere Stabilisatorgruppe derselben Kardinalität zu erstellen . Aber ich weiß nicht, wie sich eine solche Gruppe auf die Stabilisatorgruppe auswirken würde. In meinem obigen Beispiel für kann ich beispielsweise durch Konjugation mit einem Hadamard in ändern , und ich denke, dies entspricht einer richtigen Multiplikation einer Matrix auf der Paritätsprüfungsmatrix. $S_i$ $S_i$ $(n,k) = (3,1)$ $S_1$ $S_2$ $2n \times 2n$

Aufgrund dieses Beispiels bin ich versucht zu glauben, dass ich eine Konjugation durch die gesamte Clifford-Gruppe oder eine Untergruppe davon benötige, um durch Konjugation des , und dass dies einer symplektischen Matrix entspricht auf den Paritätsprüfmatrizen. In diesem Fall wird die Menge parametrisiert, indem eine bestimmte Stabilisatorgruppe und durch Konjugation durch eine einheitliche Darstellung der Clifford-Gruppe oder -Untergruppe darauf eingewirkt wird. Ist das nah? $S_i$ $(2n \times 2n)$ $\mathcal{S}$ $S_i$

error-correction stabilizer-code

— Amara
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Was genau willst du bekommen? Soweit ich in der Frage verstehe, versuchen Sie, die Stabilisatorgruppe darzustellen, indem Sie einen der Stabilisatoren über eine symplektische Matrix und den anderen durch einige Transfomationen einer solchen Matrix darstellen. Ich sehe die Motivation, die Stabilisatorgruppe auf diese Weise darzustellen, nicht wirklich, da Sie sie durch die gesamte Paritätsprüfungsmatrix darstellen könnten, indem Sie die symplektische Repräsentation jedes Generators des Stabilisators nehmen und dann eine Matrix bilden.

(n - k) \times 2 n

$(n-k)\times 2n$

— Josu Etxezarreta Martinez

@ JosuEtxezarretaMartinez Ich möchte letztendlich jedes Element

mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit wiegen . So könnte ich zum Beispiel den Bit-Flip-Code mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 und den Phasen-Flip-Code mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auswählen. In Wirklichkeit wird die Menge

größer sein, und deshalb muss ich sicherstellen, dass ich zu jedem Element der Menge komme

S_{i}

$S_i$

S

$\mathcal{S}$

— Amara,

Es gibt gute und schlechte Nachrichten. Die gute Nachricht ist, dass Ihre Intuitionen im Wesentlichen richtig sind und dass es eine solche Gruppenaktion über die Clifford-Gruppe gibt. Die schlechte Nachricht ist, dass es je nachdem, was Sie von dieser Parametrisierung erwarten, möglicherweise nicht so nützlich ist, wie Sie es sich erhoffen. $\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

Die gute Nachricht zuerst: Jede Pauli-Stabilisatorgruppe auf Qubits mit unabhängigen Generatoren kann durch Konjugation durch Clifford-Gruppenoperatoren auf jede andere solche Gruppe abgebildet werden. Der einfachste Weg, dies zu zeigen, ist die Induktion auf . Wenn , gibt es nur eine solche Stabilisatorgruppe: die Trivialgruppe . Für jedes bei gegebener Eingangsstabilisatorgruppe können Sie durch die folgenden Schritte auf den Fall von reduzieren : $n$ $r = n-k$ $r$ $r = 0$ $\{ \mathbf 1 \}$ $r > 0$ $S$ $r-1$

Wählen Sie einen Generator der Stabilisatorgruppe und ein Qubit auf das nicht trivial einwirkt. $P_r$ $x_r$ $P_r$
Finden Sie einen Clifford-Gruppenoperator so dass , der Einzel-Qubit-Pauli- Operator, der nur auf Qubit wirkt . Der Operator kann SWAP-Operatoren einbeziehen, um die gegen Qubit und . $C_r$ $C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$ $Z$ $(n-r)$ $C_r$ $x_r$ $(n-r)$
Bestimmen Sie, wie sich die anderen Generatoren der Stabilisatorgruppe unter transformieren . Dies erzeugt eine Liste von Generatoren für die Gruppe . Da abelian ist, entweder das Bild von jedem Generator wirkt auf Qubit mit oder . Im letzteren Fall erzeugen Sie einen neuen Generator, indem Sie ihn mit multiplizieren . Da ein Element von , ergibt dies einen äquivalenten Satz von Generatoren für die Gruppe. $C_r$ $S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$ $S'$ $(n-r)$ $\mathbf 1$ $Z$ $Z_{n-r}$ $Z_{n-r}$ $S'$

Danach haben Sie eine Stabilisatorgruppe für einen Unterraum, der durch stabilisiert wird . Jeder Zustand in dieser Gruppe ist ein Tensorprodukt von auf Qubit und ein Zustand auf den verbleibenden Qubits. Indem Sie den für alle anderen Qubits definierten Stabilisatorcode berücksichtigen, haben Sie sich auf den Fall einer Stabilisatorgruppe für Qubits und mit Generatoren reduziert . $Z_{n-r}$ $\ket{0}$ $(n-r)$ $n-1$ $r-1$

Wenn wir diesen induktiven Beweis entpacken, erhalten wir eine rekursive Prozedur, um jeden Stabilisatorcode mit Generatoren einer Clifford-Schaltung zuzuordnen, die diese Stabilisatorgruppe der spezifischen GruppeWenn Sie zwei solcher Codes und , setzen Sie einfach ihre Schaltungen , um eine Schaltung zu erhalten, die auf abbildet . Es gibt eine gewisse Redundanz darin, dass verschiedene Sätze von Generatoren der Stabilisatorgruppe von unterschiedliche Schaltungen $S$ $r$ $\mathcal C$

Z_{n, r} := ⟨ Z_{n - r}, Z_{n - r + 1}, \dots, Z_{n} ⟩ .

$\mathcal Z_{n,r} := \langle Z_{n-r}, Z_{n-r+1}, \ldots, Z_n\rangle \,.$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

C_{2}^{†} C_{1}

$\mathcal C_2^\dagger \mathcal C_1$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

S_{j}

$S_j$

C_{j}

$\mathcal C_j$ : Dies entspricht der Tatsache, dass einige Clifford-Schaltungen nur Automorphismen ( dh logische Einheitlichkeiten) des Codes auswerten . Aber egal: Sie haben die Möglichkeit, einen Stabilisatorcode auf Qubits mit Stabilisatorgeneratoren aus einem einzigen Code zu generieren.

n

$n$

r

$r$

Die schlechte Nachricht ist, dass im Moment alles, was wir oben getan haben, darin besteht, Stabilisatorcodes durch ihre Codierungsschaltungen zu parametrisieren. Mit "Codierungsschaltung" meine ich nur die Schaltung, die einen Qubit-Zustand annimmt und dann in einem Qubit-System codiert, indem frische Qubits im Zustand vorbereitet werden und von einer geeigneten Einheit auf sie einwirken. Durch Reduzieren eines beliebigen Stabilisatorcodes mit Generatoren auf einen 'kanonischen' (und extrem langweiligen) Code, dessen Stabilisatorgruppe $k = n-r$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $n$ $r$ $\ket{0}$ $r$ $\mathcal Z_{n,r}$ Wir haben nicht mehr oder weniger bewiesen, dass ein Stabilisatorcode einer mit einer Clifford-Codierungsschaltung ist. Das Beschreiben von Stabilisatorcodes in Bezug auf die Umlaufbahn von unter der Qubit-Clifford-Gruppe ist nicht mehr oder weniger als das Beschreiben von Codes in Bezug auf ihre Codierungsschaltungen. Dies ist eine gute Tatsache, auf die man sich verlassen kann, aber eher ein grundlegendes Ergebnis als ein tiefes Ergebnis. $\mathcal Z_{n,r}$ $n$

Wenn Sie einen anderen Code als Referenzcode verwenden, tun Sie im Wesentlichen dasselbe, außer dass Sie dieser Codierungsschaltung eine andere Clifford-Schaltung voranstellen. Diese Sichtweise kann für Sie hilfreich sein oder auch nicht - es ist sicherlich eine gute elementare Eigenschaft, die Sie beachten sollten, wenn Sie mit anderen, die mit ihnen weniger vertraut sind, über Stabilisatorcodes und Stabilisatorzustände sprechen - ohne jedoch zusätzliche Einschränkungen für was aufzuerlegen Codierungsschaltungen oder Codedarstellungen, an denen Sie interessiert sind ( z. B. um die Automorphismen von Codes zu begrenzen, die Sie berücksichtigen), ist meine Vermutung, dass diese Parametrisierung von begrenztem Nutzen sein kann. Der springende Punkt ist letztendlich, welche Eigenschaften von Stabilisatorcodes Sie betreffen.

— Niel de Beaudrap
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Das heißt also nur, dass ich bei einer Stabilisatorgruppe durch Konjugation an jedem der Generatoren einfach eine zufällige Clifford-Einheitshandlung erhalten und eine andere Stabilisatorgruppe erhalten kann?

— Amara

Sie brauchen nicht einmal etwas, was ich geschrieben habe, um das zu bekommen. Dies gilt im Wesentlichen für die Definition der Clifford-Gruppe. Was ich zeige ist, dass Sie auf diese Weise alle anderen Stabilisatorgruppen (mit der gleichen Kardinalität und mit der gleichen Anzahl von Qubits wie Ihre ursprüngliche Stabilisatorgruppe) erhalten können.

— Niel de Beaudrap