Was ist die Helstrom-Messung?

Ich habe die Arbeit Belief Propagation Decodierung von Quantenkanälen gelesen , indem ich Quantennachrichten von Joseph Renes für die Decodierung von Klassik-Quanten-Kanälen weitergeleitet habe, und ich habe mit dem Konzept der Helstrom-Messungen gekreuzt .

Ich habe einige Kenntnisse über Quanteninformationstheorie und Quantenfehlerkorrektur, aber ich hatte nie über eine solche Messung gelesen, bis ich an diesem Artikel gearbeitet habe. In einem solchen Artikel stellt der Autor fest, dass die Messung für dieses Decodierungsverfahren optimal ist, daher würde ich gerne wissen, was solche Messungen sind und wie sie durchgeführt werden können.

algorithm error-correction quantum-information

— Josu Etxezarreta Martinez
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Die Helstrom-Messung ist die Messung mit der minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn versucht wird, zwischen zwei Zuständen zu unterscheiden.

Stellen wir uns zum Beispiel vor, Sie haben zwei reine Zustände und , und Sie wollen wissen , was es ist , dass Sie haben. Wenn , dann können Sie eine Messung mit drei Projektoren angeben $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\langle\psi|\phi\rangle=0$ (Für einen zweidimensionalen Hilbert-Raum ist)

P_{ψ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{ϕ} = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

\bar{P} = 0

$\bar P=0$

Die Frage ist , welche Messung sollte man in dem Fall führen , dass ? Insbesondere nehmen wir an , dass , und ich werde nur auf projektiven Messungen konzentrieren (IIRC dies optimal ist). In diesem Fall gibt es immer ein einheitliches so dass $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$ $\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$ $U$ Diese Zustände werden nun optimal durchund(Sie erhalten und tragen Sie hatte ). Daher ist die optimale Messung

U | ψ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ + \sin θ | 1 ⟩ U | ϕ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ - \sin θ | 1 ⟩ .

| + ⟩ ⟨ + |

$|+\rangle\langle +|$

| - ⟩ ⟨ - |

$|-\rangle\langle -|$

| + ⟩

$|+\rangle$

U | ψ ⟩

$U|\psi\rangle$

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist

P_{ψ} = U^{†} | + ⟩ ⟨ + | U P_{ϕ} = U^{†} | - ⟩ ⟨ - | U \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

{(\frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1 + \sin (2 θ)}{2} .

$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$

$\rho_1$ $\rho_2$

δ ρ = ρ_{1} - ρ_{2},

$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$

{λ_{i}}

$\{\lambda_i\}$

| λ_{i} ⟩

$|\lambda_i\rangle$

δ ρ

$\delta\rho$

P_{1} = \sum_{i : λ_{i} > 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{2} = \sum_{i : λ_{i} < 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{0} = I - P_{1} - P_{2} .

$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$

P_{1}

$P_1$

ρ_{1}

$\rho_1$

P_{2}

$P_2$

ρ_{2}

$\rho_2$

P_{0}

$P_0$

\frac{1}{2} Tr ((P_{1} + P_{0} / 2) ρ_{1}) + \frac{1}{2} Tr ((P_{2} + P_{0} / 2) ρ_{2})

$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$

\frac{1}{4} Tr ((P_{1} + P_{2} + P_{0}) (ρ_{1} + ρ_{2})) + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

P_{1} + P_{2} + P_{0} = I

$P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$

Tr (ρ_{1}) = Tr (ρ_{2}) = 1

$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2})) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr | ρ_{1} - ρ_{2} | .

$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$

— DaftWullie
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λ_{i}

$\lambda_i$

δ ρ

$\delta\rho$

@ JosuEtxezarretaMartinez Ja.

— DaftWullie

T r ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$Tr((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

T r | ρ_{1} - ρ_{2} |

$Tr|\rho_1-\rho_2|$

P_{1}

$P_1$

δ ρ

$\delta\rho$

- P_{2}

$-P_2$

δ ρ

$\delta\rho$

(P_{1} - P_{2}) δ ρ = | δ ρ |

$(P_1-P_2)\delta\rho=|\delta\rho|$