Sind alle

Satz 2 von [1] besagt:

Angenommen, ist ein additiver selbstorthogonaler Subcode von GF ( 4 ) n , der 2 n - k Vektoren enthält, so dass es in C ⊥ / C keine Vektoren mit einem Gewicht < d gibt . Dann ist jeder Eigenraum von ϕ - 1 ( C ) ein additiver Quantenfehlerkorrekturcode mit Parametern [ [ n , k , d ] ] .$C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

wobei hier ist die Karte zwischen der Binärdarstellung von n -fach Pauli Operatoren und ihrem zugeordneten Codewort, und C ist selbst orthogonal , wenn C ⊆ C ⊥ wo C ⊥ ist die duale C .$\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Dies sagt uns, dass jeder additive selbstorthogonale klassische Code einen [ [ n , k , d ] ] - Quantencode darstellt.$\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

Meine Frage ist, ob das Gegenteil auch zutrifft, dh: Wird jeder Quantencode durch einen additiven selbstorthogonalen GF ( 4 ) n- Klassikcode dargestellt?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

Oder gleichwertig: Gibt es Quantencodes, die nicht durch einen additiven selbstorthogonalen klassischen GF ( 4 ) n- Code dargestellt werden?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert et al. "Quantenfehlerkorrektur über Codes über GF (4)." IEEE Transactions on Information Theory 44.4 (1998): 1369 & ndash; 1387.

Die additive selbstorthogonale Beschränkung der klassischen Codes zum Erzeugen von Stabilisatorquantencodes ist erforderlich, da die Stabilisatorgeneratoren zwischen ihnen pendeln müssen, um einen gültigen Coderaum zu erzeugen. Bei der Erstellung von Quantencodes aus klassischen Codes entspricht die Kommutierungsbeziehung für die Stabilisatoren einem selbstorthogonalen klassischen Code.

Quantencodes können jedoch aus nicht selbstorthogonalen klassischen Codes über $GF(4)^n$ mittels Verschränkungshilfe konstruiert werden . Bei diesen Konstruktionen wird ein beliebiger klassischer Code ausgewählt, und durch Hinzufügen einiger Bell-Paare im Qubit-System wird eine Kommutierung zwischen den Stabilisatoren erhalten.

Dieses verschränkungsunterstützte Paradigma zur Konstruktion von QECCs aus jedem klassischen Code wird in arXiv: 1610.04013 vorgestellt , das auf dem in Science von Brun, Devetak und Hsieh veröffentlichten Artikel "Korrigieren von Quantenfehlern mit Verschränkung" basiert.

Ihre Frage kann teilweise als Notationsproblem angesehen werden.

$[[n,k,d]]_D$$D^k$

$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$