Quantenalgorithmus für lineare Gleichungssysteme (HHL09): Schritt 1 - Verwirrung hinsichtlich der Verwendung des Phasenschätzungsalgorithmus

Ich habe schon seit einiger Zeit versucht, mich mit dem berühmten (?) Papierquantenalgorithmus für lineare Gleichungssysteme (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (im Volksmund als HHL09-Algorithmuspapier bekannt ) vertraut zu machen .

Auf der allerersten Seite heißt es :

Wir skizzieren hier die Grundidee unseres Algorithmus und diskutieren sie im nächsten Abschnitt ausführlicher. Nehmen wir an, wir möchten bei einer hermitischen Matrix A und einem Einheitsvektor → b → x finden , das A → x = → b erfüllt . (Wir diskutieren spätere Fragen der Effizienz sowie wie die Annahmen, die wir über A und → b getroffen haben , gelockert werden können.) Erstens repräsentiert der Algorithmus → b als Quantenzustand | b ⟩ = Σ N $N\times N$$A$$\vec{b}$$\vec{x}$$A\vec{x} = \vec{b}$$A$$\vec{b}$$\vec{b}$. Als nächstes verwenden wir Techniken der Hamiltonschen Simulation [3, 4], umeiAtauf|anzuwenden bi⟩für eine Überlagerung von verschiedenen Zeitent. Diese Fähigkeit,A zupotenzieren, führt über die bekannte Technik der Phasenschätzung [5–7] zu der Fähigkeit,|zu zersetzen b⟩ in der Eigenbasis vonAund die entsprechenden Eigenwerten zu finden λjInformal, der Zustand des Systems nach dieser Stufe istNäheΣ j $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$$e^{iAt}$$|b_i\rangle$$t$$A$$|b\rangle$$A$$\lambda_j$, wobeiujist die Eigenvektor Basis Aund| b⟩=Σ j = N j = 1 βj| uj⟩.$\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$$u_j$$A$$|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

So weit, ist es gut. Wie in Nielsen & Chuang im Kapitel " Die Quanten-Fourier-Transformation und ihre Anwendungen " beschrieben, wird der Phasenschätzungsalgorithmus verwendet, um in e i 2 π φ zu schätzen, was der einem Eigenvektor | entsprechende Eigenwert ist u ⟩ des unitären Operator U .$\varphi$$e^{i2\pi \varphi}$$|u\rangle$$U$

Hier ist der relevante Teil von Nielsen & Chuang:

Der Phasenschätzungsalgorithmus verwendet zwei Register. Das erste Register enthält Qubits anfangs im Zustand | 0 ⟩ . Wie wir t wählen, hängt von zwei Dingen ab: der Anzahl der Genauigkeitsstellen, die wir in unserer Schätzung für φ haben möchten , und mit welcher Wahrscheinlichkeit wir wünschen, dass das Phasenschätzungsverfahren erfolgreich ist. Die Abhängigkeit von t von diesen Größen ergibt sich natürlich aus der folgenden Analyse.$t$$|0\rangle$$t$$\varphi$$t$

Das zweite Register beginnt im Zustand und enthält so viele Qubits wie nötig zu speichern ist | u ⟩ . Die Phasenschätzung erfolgt in zwei Schritten. Zunächst wenden wir die in Abbildung 5.2 gezeigte Schaltung an. Die Schaltung beginnt mit dem Anwenden einer Hadamard-Transformation auf das erste Register, gefolgt vom Anwenden von gesteuerten U- Operationen auf das zweite Register, wobei U auf aufeinanderfolgende Zweierpotenzen angehoben wird. Der Endzustand des ersten Registers ist leicht zu erkennen als:$|u\rangle$$|u\rangle$$U$$U$

$$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$$

Die zweite Stufe der Phasenschätzung besteht darin, die inverse Quanten-Fourier-Transformation auf das erste Register anzuwenden. Dies wird durch Umkehren der Schaltung für die Quanten-Fourier-Transformation im vorherigen Abschnitt (Aufgabe 5.5) erreicht und kann in -Schritten erfolgen. Die dritte und letzte Stufe der Phasenschätzung besteht darin, den Zustand des ersten Registers durch eine Messung auf der Berechnungsbasis auszulesen. Wir werden zeigen, dass dies eine ziemlich gute Schätzung von φ liefert . Ein Gesamtschema des Algorithmus ist in Abbildung 5.3 dargestellt.$\Theta (t^2)$$\varphi$

$\varphi$$\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$$\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$$

$|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$$\varphi$

$\varphi$$U$$|u\rangle$

$$\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$$

^$\dagger$

Schritt 1 (Phasenschätzung):

$A$$A$$e^{iAt}$$A$

$U=e^{iAt}$$|u_j\rangle$$U$$N\times N$$N$$A$$\lambda_j$$e^{iAt}$$e^{i \lambda_j t}$$U$$e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$$\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$$|b\rangle$$U$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$$|u_j\rangle$$U$$|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$$|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$$|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$$\lambda_j$$|u_j\rangle$$A$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Frage:

$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

$\frac{t}{2\pi}$

Bearbeiten: Teil 2 wurde hier gestellt , um die einzelnen Fragen fokussierter zu gestalten.

^{Ich habe auch einige Verwirrungen in Bezug auf Schritt 2 und Schritt 3 des HHL09-Algorithmus, aber ich habe beschlossen, sie als separate Fragethreads zu veröffentlichen, da dieser zu lang wird. Ich werde die Links zu diesen Fragethreads in diesem Beitrag hinzufügen, sobald sie erstellt wurden.}

$\dagger$

Es hängt von den Papieren ab, aber ich habe 2 Ansätze gesehen:

1. $t$$t = t_0 = 2\pi$

2. $\tilde \lambda$$\lambda$$\frac{t}{2\pi}$$\tilde \lambda$$\frac{\lambda t}{2\pi}$

Hier sind einige Links:

1. $t$$2\pi$

2. $t$$t_0$$2\pi$

3. $t = 2\pi$

4. $t_0 = 2\pi$

$\frac{t}{2\pi}$

$U$$e^{-i\lambda t}$$\lambda t/(2\pi)$$A$$\lambda$

$U$$e^{-i\lambda t}$$A$$\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$