Quantenalgorithmus für lineare Gleichungssysteme (HHL09): Schritt 1 - Anzahl der benötigten Qubits

Dies ist eine Fortsetzung des Quantenalgorithmus für lineare Gleichungssysteme (HHL09): Schritt 1 - Verwirrung hinsichtlich der Verwendung des Phasenschätzungsalgorithmus

Fragen (Forts.):

Teil 2: Ich bin mir nicht ganz sicher, wie viele Qubits für Schritt 1 des HHL09 benötigt werden .

In Nielsen und Chuang (Abschnitt 5.2.1, Ausgabe zum 10-jährigen Jubiläum) heißt es:

Um erfolgreich zu erhalten, das auf Bits mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von mindestens genau ist, wählen wir$\varphi$$n$$1-\epsilon$

$$t=n+\lceil { \log(2+\frac{1}{2\epsilon})\rceil}$$

Nehmen wir also an, wir wollen eine Genauigkeit von dh und eine Genauigkeit von Bit für oder wir würden brauchen$90\%$$1-\epsilon = 0.9 \implies \epsilon = 0.1$$3$$\frac{\lambda_j t}{2\pi}$$\lambda_j$

Abgesehen davon, da als eine Summe von linear unabhängigen Eigenvektoren einer dimensionalen Matrix , würden wir minimale Qubits , um a zu erzeugen Vektorraum mit mindestens - Dimensionen. Wir brauchen also für das zweite Register.N N × N A ≤ log 2 ( N ) ≤ N ≤ log 2 ( N ) $|b\rangle$$N$$N\times N$$A$$\lceil{\log_2(N)\rceil}$$N$$\lceil{\log_2(N)\rceil}$

Für das erste Register nicht nur Qubits aus , um die Eigenwerte , sondern wir benötigen mehr Bits für die Darstellung der einzelnen genau bis zu Bit. N | λ j ⟩ | λ j ⟩ $\lceil{\log_2(N)\rceil}$$N$$|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$$n$

Ich denke, wir sollten in diesem Fall wieder die Formel . Wenn jeder Eigenwert mit einer Genauigkeit von Bit und einer Genauigkeit von benötigen wir für das erste Register . Plus, noch ein Qubit, das für die Ancilla benötigt wird.| λi⟩390%6×⌈log2(N)

Wir sollten also insgesamt Qubits für Schritt 1 des HHL09-Algorithmus benötigen . Das ist ziemlich viel!$(6+1)\lceil{\log_2(N)\rceil}+1$

Angenommen, wir möchten ein lineares Gleichungssystem so lösen, dass ist und selbst Qubits benötigt! Falls nicht hermitisch ist, brauchen wir noch mehr Qubits. Habe ich recht?A 7 ≤ log 2 ( 2 ) ≤ + 1 = 8 $2\times 2$$A$$7\lceil{\log_2(2)\rceil}+1 = 8$$A$

In diesem ^{[ ]$\dagger\dagger$} -Papier auf Seite 6 behaupten sie jedoch, dass sie den HHL09-Algorithmus verwendet haben , um die Pseudoinverse von einer Größe von ~ zu schätzen . In diesem Papier,200 × 200 $A$$200\times 200$$A$ definiert als:

wobei , und alle Matrizen sind.W I d d × $P$$W$$\Bbb I_d$$d\times d$

In der H1N1-bezogenen Simulation von Lloyd et al. haben behauptet gemacht zu haben, . Und sie behaupten weiter, dass sie den HHL09-Algorithmus verwendet haben , um die Pseudo-Inverse von (die die Größe ) zu schätzen . Das würde mindestens Qubits , um zu simulieren. Ich habe keine Ahnung, wie sie das möglicherweise mit den aktuellen Quantencomputern oder Quantencomputersimulationen tun könnten. Soweit ich weiß, unterstützt IBM Q Experience derzeit ~ Qubits (auch das ist nicht so vielseitig wie ihreA 200 × 200 7 ≤ log 2 ( 200 ) ≤ + 1 = 7 ( 8 ) + 1 = 57 15 $d = 100$$A$$200\times 200$$7\lceil{\log_2(200)\rceil}+1 = 7(8)+1 = 57$$15$$5$ Qubit-Version).

Vermisse ich hier etwas? Benötigt dieser Schritt 1 tatsächlich weniger Qubits als ich geschätzt habe?

[ ]: Ein Quanten-Hopfield-Neuronales Netzwerk Lloyd et al. (2018)$\dagger\dagger$

Die Berechnung der Umkehrung einer Matrix kann durch Anwenden von HHL mit verschiedenen (insbesondere wird HHL mal angewendet , einmal für jeden als verwendeten Berechnungsbasisvektor ).N → b i N → b$N\times N$$N$$\vec{b}_i$$N$$\vec{b}_i$

In jedem Fall muss eine Phasenschätzung für eine Matrix durchgeführt werden.$N \times N$

Die Anzahl der für die Phasenschätzung erforderlichen Qubits ist auf Seite 249 der 10-jährigen Jubiläumsausgabe von N & C angegeben:

"Das Quantenphasenschätzungsverfahren verwendet zwei Register. Das erste Register enthält Qubits."$t$

"Das zweite Register [...] enthält so viele Qubits, wie zum Speichern von erforderlich sind ", wobei ein dimensionaler Vektor ist.| u ⟩ $|u\rangle$$|u\rangle$$N$

Sie haben also Recht, dass wir Qubits für das erste Register und Qubits für das zweite Register benötigen würden .log N = $6$$\log N=8$

Dies sind insgesamt 14 Qubits, um den Phasen-Esitmationsteil jeder HHL-Iteration durchzuführen, die an der Berechnung der Inversen einer Matrix beteiligt ist. 14 Qubits gehören zu den Fähigkeiten eines Laptops.