Beweis einer Holevo-Informationsungleichheit

Angenommen, ich habe einen klassisch-klassisch-Quantenkanal $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , wobei $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ endliche Mengen sind und $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ die Menge der Dichtematrizen auf einem endlich dimensionalen, komplexen Hilbert-Raum ist $\mathcal{H}$ .

Angenommen $p_x$ ist die gleichmäßige Verteilung auf $\mathcal{X}$ und $p_y$ ist die gleichmäßige Verteilung auf $\mathcal{Y}$ . Definieren Sie ferner für Verteilungen $p_1$ auf $\mathcal{X}$ und $p_2$ auf $\mathcal{Y}$ die Holevo-Information

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

wo $H$ die von Neumann-Entropie ist.

Ich möchte für

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$ dass

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Bisher bin ich noch nicht davon überzeugt, dass die Aussage überhaupt wahr ist. Ich habe keine großen Fortschritte gemacht, um dies zu beweisen, aber es scheint, als könnte eine Art Dreiecksungleichheit die Behauptung bestätigen.

Vielen Dank für alle Vorschläge, ob die Aussage gelten soll, und für Tipps, wie Sie sie beweisen können.

quantum-information entropy

— Stephen Diadamo
quelle

Wie die Antwort andeutet, wollte ich Argmax und nicht Supremum verwenden.

— Stephen Diadamo

Es scheint, dass die Aussage im Allgemeinen nicht wahr ist. Angenommen, , ist der Hilbert-Raum, der einem einzelnen Qubit entspricht, und ist definiert als $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$

\begin{aligned} W. (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W. (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W. (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W. (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

— John Watrous
quelle