Quantenkanalmodelle

Der sogenannte Depolarisationskanal ist das Kanalmodell, das hauptsächlich bei der Konstruktion von Quantenfehlerkorrekturcodes verwendet wird. Die Wirkung eines solchen Kanals über einen Quantenzustand $\rho$ ist

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Ich habe mich gefragt, welche anderen Kanalmodelle in der Quantenkommunikation berücksichtigt werden und wie sich die Berücksichtigung solcher anderen Kanäle auf die Konstruktion von Fehlerkorrekturcodes auswirkt.

— Josu Etxezarreta Martinez
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Lassen Sie mich zunächst einen kleinen Punkt in Bezug auf die Terminologie erwähnen. Der von Ihnen vorgeschlagene Kanaltyp wird häufig als Pauli-Kanal bezeichnet . Der Begriff Depolarisationskanal bezieht sich normalerweise auf den Fall, in dem . $p_x = p_y = p_z$

Es ist jedenfalls nicht richtig zu sagen, dass Pauli-Kanäle das Kanalmodell sind, das für die Quantenfehlerkorrektur in Betracht gezogen wird. Standardcodes zur Korrektur von Quantenfehlern können vor willkürlichen Fehlern schützen (dargestellt durch einen von Ihnen gewählten Quantenkanal), solange die Fehler nicht zu viele Qubits betreffen.

Betrachten wir als Beispiel einen beliebigen Einzel-Qubit-Fehler, der durch einen Kanal ein Qubit auf ein Qubit abbildet. Ein solcher Kanal kann in Kraus-Form ausgedrückt werden als $\Phi$

Φ (ρ) = {EIN}_{1} ρ {EIN}_{1}^{†} + \dots + {EIN}_{m} ρ {EIN}_{m}^{†}

$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$ für eine Auswahl von Kraus-Operatoren

. (Für einen Qubit-Kanal können wir immer

wenn wir wollen.) Sie können diese Operatoren beispielsweise so wählen, dass

für jeden Qubit-Zustand

A_{1}, \dots, A_{m}

$A_1,\ldots,A_m$

m = 4

$m = 4$

Φ (ρ) = | 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$

ρ

$\rho$ Sie könnten den Fehler einheitlich machen oder was auch immer Sie sonst wählen. Die Auswahl kann sogar kontrovers sein, nachdem Sie wissen, wie der Code funktioniert.

Jeder der Kraus-Operatoren kann als lineare Kombination von Pauli-Operatoren ausgedrückt werden, da die Pauli-Operatoren eine Basis für den Raum von 2 mal 2 komplexen Matrizen bilden: Wenn Sie jetzt die Kraus Darstellung erweitern aus oben, du bist eine schmutzige Ausdruck erhalten , in dem sieht aus wie eine lineare Kombination von Operatoren der Form wo $A_k$

{EIN}_{k} = {ein}_{k} ich + b_{k} X. + c_{k} Y. + d_{k} Z. .

$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$

Φ

$\Phi$

Φ (ρ)

$\Phi(\rho)$

P_{i} ρ P_{j}

$P_i \rho P_j$

und

i, j \in {1, 2, 3, 4}

$i,j\in\{1,2,3,4\}$

P_{1} = I

$P_1 = I$

P_{2} = X

$P_2 = X$

P_{3} = Y

$P_3 = Y$

P_{4} = Z

$P_4 = Z$

$X$ $Y$ $Z$

$\Phi$

{P.}_{ich} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {P.}_{j} \otimes | {P.}_{ich} Syndrom ⟩ ⟨ {P.}_{j} Syndrom | .

$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

P_{i}

$P_i$

P_{j}

$P_j$

P_{i}

$P_i$

P_{j}

$P_j$

{P.}_{ich} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {P.}_{ich} \otimes | {P.}_{ich} Syndrom ⟩ ⟨ {P.}_{ich} Syndrom | .

$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$

Dies alles wird (etwas kurz) in Abschnitt 10.2 von Nielsen und Chuang beschrieben.

— John Watrous
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Vielen Dank für die Einsicht, aber mir war ein solcher Effekt bekannt, der als "Diskretisierung von Fehlern" bezeichnet wird und dazu führt, dass die Korrektur des Pauli-Kanals für ein einzelnes Qubit aufgrund des Zusammenbruchs des Zustands nach der Messung tatsächlich willkürliche Fehler bei einzelnen Qubits korrigiert. Ich bin jedoch daran interessiert, was Sie tatsächlich in "Wenn die Fehler nicht zu viele Qubits betreffen" angeben. Was würde passieren, wenn das nicht stimmt? Vielen Dank.

— Josu Etxezarreta Martinez

Auch nur um darauf hinzuweisen, ich habe gesehen, dass der Pauli-Kanal manchmal in der Literatur als "asymmetrischer Pauli-Kanal" bezeichnet wird, deshalb habe ich die Frage mit einem solchen Ausdruck gestellt.

— Josu Etxezarreta Martinez

Ich entschuldige mich, wenn ich etwas erklärt habe, das Sie bereits wissen, habe ich nur versucht, die Frage zu beantworten, die ich aus dem, was Sie geschrieben haben, interpretiere. Außerdem spiegeln meine Kommentare zur Terminologie lediglich meine Sicht auf das Typische wider und zielen nur darauf ab, Verwirrung zu vermeiden. Jeder kann die von ihm bevorzugte Terminologie verwenden, und natürlich gibt es nicht immer eine perfekte Übereinstimmung, sowohl im Zeitverlauf als auch in Bezug auf die Personen bevorzugen.

— John Watrous

Ich denke, die Antwort auf die Frage in Ihrem Kommentar ist, dass sie sowohl vom Fehler als auch vom Code abhängt. Natürlich kann der Code einen Fehler möglicherweise nicht korrigieren, wenn er zu viele Qubits betrifft. Andererseits gibt es beispielsweise sogenannte entartete Codes, die mehr Fehler korrigieren, als sie tatsächlich identifizieren können, und die für hohe Rauschraten nützlich sein können. Dies sind sehr interessante Objekte, aber ich glaube, dass viele grundlegende Fragen zu ihnen unbeantwortet bleiben.

— John Watrous

@ JohnWatrous, ich lade Sie zu meiner Frage hier ein: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/5794/… Bitte helfen Sie bei der Beantwortung.

— Tobias Fritzn