Wenn es um Fehlerkorrektur geht, nehmen wir unsere Stabilisatoren als Mitglieder der Pauli-Gruppe. Warum wird die Pauli-Gruppe dafür verwendet und nicht etwa die Gruppe aller einheitlichen Matrizen?
Wenn es um Fehlerkorrektur geht, nehmen wir unsere Stabilisatoren als Mitglieder der Pauli-Gruppe. Warum wird die Pauli-Gruppe dafür verwendet und nicht etwa die Gruppe aller einheitlichen Matrizen?
Antworten:
Es gibt einige ziemlich einfache Gründe - über die rein historischen hinaus - Pauli-Matrizen anstelle willkürlicher einheitlicher Matrizen zu verwenden. Diese Gründe mögen die Pauli-Gruppe von Betreibern nicht eindeutig herausgreifen, aber sie schränken den Umfang dessen, was produktiv zu betrachten ist, erheblich ein.
Ein Stabilisatoroperator muss in erster Linie einen +1 Eigenwert haben; Andernfalls gibt es keinen Zustand \ lvert \ psi \ rangle, den es "stabilisiert", in dem Sinne, dass S \ lvert \ psi \ rangle = \ lvert \ psi \ rangle . Wir müssen uns also auf Mengen von Operatoren beschränken, die +1 Eigenwerte haben.
Zweitens müssen wir überlegen, wie die Stabilisatoroperatoren betrieblich eingesetzt werden können. Wenn wir wissen, dass es eine Symmetrie des Systems gibt, die gelten sollte, aber wir keine Möglichkeit haben zu bestimmen, ob diese Symmetrie in der Praxis gilt oder nicht (dh ob ein Fehler aufgetreten ist), sind wir aus Glück. Was wir dann tun möchten, ist, eine Phasenschätzung durchführen zu können, um zu testen, ob der Eigenwert eines gegebenen Zustands in Bezug auf einen angeblich stabilisierenden Operator tatsächlich +1 ist, oder nicht. um festzustellen, ob von den Eigenschaften abweicht, die es enthält.
Dies motiviert dazu, Operatoren die zwar einheitlich sind, aber auch dort, wo sich die Eigenwerte signifikant voneinander unterscheiden, damit die Phasenschätzung einen Zustand mit einem signifikanten Fehler leicht von einem Zustand mit einem nicht signifikanten Fehler unterscheiden kann. Dies motiviert zur Betrachtung einer Menge von Qubit-Operatoren, die höchstens -Eigenwerte haben .
Ein Teil des gesamten Problems besteht darin, dass wir Operationen erkennen und korrigieren möchten, die an komplizierten Quantentransformationen beteiligt sein können. Wenn die Phasenschätzung, die an der Eigenwertschätzung eines Stabilisierungsoperators ist, selbst kompliziert ist, helfen wir der Situation nicht.
Was gut wäre, ist für jeden der Stabilisierungsoperatoren wir für eine sehr einfache Struktur halten: Zum Beispiel könnten wir besonders daran interessiert sein, dass es sich um Tensorprodukte von 1- oder 2-Qubit-Operationen handelt. Es erscheint sinnvoll, sich dem Thema zu nähern, indem jeder Operator als Tensorprodukt einzelner Qubit-Operationen betrachtet wird.
Um Tensorproduktoperationen für Qubits zu berücksichtigen , die höchstens unterschiedliche Eigenwerte aufweisen, einschließlich +1 - und ohne umständliche Einschränkungen aufzuerlegen, welche Einzel-Qubit-Operatoren auf welche Qubits einwirken - Wir sind mehr oder weniger gezwungen, Einzel-Qubit-Einheitsoperatoren zu betrachten, deren Eigenwerte innerhalb einer endlichen Menge (unabhängig von oder ) liegen, die +1 enthält.1 / p o l y ( k ) E ⊆ C k n
Wir können dies auf den Fall reduzieren indem wir beobachten, dass das Schätzen der Eigenwerte eines Tensorproduktoperators , wobei jedes eins +1 hat Eigenwert und ein Eigenwert, der nicht +1 ist, sind dasselbe wie eine künstlich verkürzte Version der Eigenwertschätzung für einen Operator der Eigenwerte . Um mehrere Operatoren zu berücksichtigen , die einen nützlichen gemeinsamen + 1-Eigenraum haben, hilft es außerdem, dass jeder Operator S einen so großen + 1-Eigenraum wie möglich hat; dann hilft es, dass es für die Eigenwerte jedes so einfach wie möglich istS = S 1 ⊗ S 2 ⊗ ⋯ ⊗ S K S j P j ± 1 S S j S jauf +1 multiplizieren. Dies motiviert wieder den Fall für die Eigenwerte von zu .
Nichts zwingt uns, die Gruppe von Operatoren zu berücksichtigen, die durch einen solchen Satz erzeugt werden, aber die Produkte unserer Stabilisatoroperatoren werden auch Stabilisatoroperatoren sein, und wir haben genug Einschränkungen für unsere Operatoren, so dass wir die von unseren Stabilisatoroperatoren erzeugte Gruppe zumindest vernünftigerweise betrachten können .
Wir haben Operatoren und deren entweder oder nicht triviale Reflexionen über Einzel-Qubit-Zustände sind; ihre Produkte sind Rotationen um einen Winkel , der durch die Winkel zwischen den Eigenbasen von und . Wenn wir eine schöne , saubere Theorie erhalten wollen, könnten wir diese Produkte von Stabilisator Betreiber selbst leicht messen möchten: Das motiviert mit proportional mit Eigenwerten an einen Betreiber sein (eigentlich wird Eigenwerte habenS ' = S ' 1 ⊗ ⋯ ⊗ S ' n 1 S j S ' j θ S j S ' j S j S ' j ± 1 S j S ' j ± i S j S ' J ), in welchem Fall und anticommute.
Somit reicht die obige Kombination von theoretischen und praktischen Einschränkungen aus, um etwas zu ergeben, das für die Pauli-Gruppe isomorph ist. Da die Pauli-Operatoren eine Theorie haben, die ziemlich leicht zu verstehen ist, hat dies zu einer fruchtbaren Theorie der Quantenfehlerkorrektur geführt.
Eine faire Frage wäre, welche der oben genannten Schritte willkürlicher waren als die anderen.
Es würde mich nicht überraschen, wenn es eine produktive Theorie der Fehlerkorrektur gäbe, bei der die Einschränkungen Tensorproduktoperatoren waren, deren Tensorfaktoren Eigenwerte , bei denen die möglichen Operatoren jedoch nicht unbedingt antikommutierten (Schritt 5 oben).
Anspruchsvoller (und schwieriger) wäre eine leistungsfähige und nützliche Theorie der Fehlerkorrektur, bei der die stabilisierenden Operatoren, die man misst, Operatoren einschließen, die keine Tensorproduktoperatoren sind (Schritt 3 - was motivieren würde, sich nicht zu viele Sorgen um die Gruppenstruktur in der Gruppe zu machen Gruppe von Stabilisatoren, die Sie messen möchten).
Aus rein mathematischer Sicht gibt es nichts Offensichtliches, was eine solche Untersuchungslinie verhindern oder entmutigen könnte - abgesehen von der Tatsache, dass es wahrscheinlich schwierig und wahrscheinlich auch unnötig ist - und in diesem Sinne wäre es perfekt gut, Theorien der Quantenfehlerkorrektur zu berücksichtigen, die weit über die Pauli-Gruppe hinausgehen.
Jeder Operator aus der Pauli-Gruppe hat zwei gleich große Eigenräume. Wir wussten also, dass wir durch Hinzufügen eines Stabilisatorgenerators aus dieser Gruppe die Größe des Stabilisatorraums um die Hälfte reduzieren. Dies bedeutet, dass der Stabilisatorraum ein logisches Qubit weniger passen würde. Dies macht es einfach zu wissen, wann wir genügend Stabilisatoren haben: Um logische Qubits in physischen Qubits zu speichern , benötigen wir nur unabhängige Stabilisatorgeneratoren.
Auch die Pauli-Gruppe besteht aus hermitianischen Betreibern. Da der Punkt eines Stabilisators gemessen werden soll, ist es für sie nützlich, hermitisch zu sein, da sie direkt als Observable interpretiert werden können.
Darüber hinaus sind die Operatoren, die zwischen Stabilisatorzuständen abbilden (gegenseitige Eigenzustände von Stabilisatoroperatoren), selbst Elemente der Pauli-Gruppe. Dies hängt mit dem in Ihrem Kommentar angesprochenen Punkt zusammen: Pauli-Gruppenelemente bilden eine vollständige Grundlage für die Beschreibung der Multi-Qubit-Operation. Wenn wir also die Stabilisatoren messen und das Rauschen effektiv auf eine Abbildung zwischen den Stabilisatorzuständen reduziert wird, ist es so, als ob das Rauschen nur eine Reihe einfacher Paulis angewendet hätte. Die Korrektur kann dann durch eine einfache Drehung des Pauli-Rahmens erfolgen. Dies erfordert nicht einmal, dass wir ein Gate direkt auf den Code anwenden. Wir können einfach sagen "Es sieht so aus, als hätte ein dieses Qubit getroffen, also werde ich von nun an sein als interpretieren und umgekehrt".| 0 ⟩ | 1 ⟩
Paulis sind nicht erforderlich, aber sie haben schöne Eigenschaften. Deshalb stehen sie im Mittelpunkt