Was ist der ungefähre Fehler des Pythagoras-Satzes gegenüber der Haversin-Formel bei der Messung von Entfernungen auf einer Kugel in verschiedenen Maßstäben?

Viele Menschen fragen sich, wenn sie zum ersten Mal versuchen, Entfernungen zwischen zwei Längen- und Breitengradpaaren zu berechnen, ob das pythagoreische Theorem als geeignete Entfernungsfunktion funktioniert.

Am häufigsten antworten die Leute mit "Nein, der Satz von Pythagoras funktioniert nur auf einer euklidischen 2D-Ebene." In seltenen Fällen wird jedoch die Auswirkung von Skalierung und Position auf die Sphäre auf die Ungenauigkeit des Satzes von Pythagoras erwähnt.

Da die Grundidee sehr klein ist, ähnelt die Oberfläche einer Kugel einer Ebene. Bei sehr großen Maßstäben sind die Abstände entlang der Oberfläche stärker gekrümmt, und daher ist der Unterschied zwischen dem falschen Satz von Pythagoras und der korrekten Haversinusformel größer.

Kennt jemand eine Formel oder eine Faustregel, die Ihnen den Unterschied zwischen den beiden Abstandsmaßen auf der Grundlage des Maßstabs des Abstands angibt, den Sie messen möchten?

Ich denke, dies ausdrücklich zu haben, würde helfen bei:

1. Erklären, warum der Satz von Pythagoras nicht perfekt ist; und
2. Menschen, die nach "gröberen" Entfernungen suchen, wissen, wann Pythagoras tatsächlich ihren Zweck erfüllen wird.

Die Verwendung der pythagoreischen Formel für Positionen, die in Breiten- und Längengraden angegeben sind, ist so wenig sinnvoll wie die Berechnung der Fläche eines Kreises mit der Formel für ein Quadrat: Obwohl sie eine Zahl ergibt, gibt es keinen Grund anzunehmen, dass sie funktionieren sollte.

Obwohl in kleinen Maßstäben jede glatte Oberfläche wie eine Ebene aussieht, hängt die Genauigkeit der pythagoreischen Formel von den verwendeten Koordinaten ab . Wenn diese Koordinaten Breiten- und Längengrade auf einer Kugel (oder einem Ellipsoid) sind, können wir das erwarten

1. Entfernungen entlang von Längengraden sind ziemlich genau.

2. Entfernungen entlang des Äquators sind ziemlich genau.

3. Alle anderen Entfernungen sind in etwa proportional zu den Unterschieden zwischen Breiten- und Längengraden fehlerhaft.

Der Fehler hängt vom Start- und Endpunkt der Entfernungsberechnung ab. Da jedoch sowohl die Kugel als auch das Ellipsoid eine Kreissymmetrie um die Achse haben, hängt der Fehler nur von der Differenz der Längen ab. Um diesen Fehler zu untersuchen, können wir auch den Ausgangspunkt auf dem Nullmeridian nehmen. Da sowohl die Kugel als auch das Ellipsoid unter einer Nord-Süd-Reflexion symmetrisch sind, müssen wir nur die Ursprungspunkte auf der südlichen Hemisphäre untersuchen. Für jeden solchen Punkt können wir eine Umrisskarte des relativen Fehlers zeichnen, die gleich [Pythagoreische Berechnung] / [Wahre Entfernung] ist.

Die pythagoreische Formel unter Verwendung des mittleren Radius der Erde ist

Pythagorean distance =  6371000. * Sqrt[dx^2 + dy^2]] * pi / 180 meters

Dabei ist dx der Längenunterschied und dy der Breitenunterschied, beide in Grad. (Die Differenz der Längengrade wird modulo 360 reduziert, um den korrekten Wert von dx beim Überschreiten des Antimeridians zu erhalten. Andernfalls würden künstlich große Fehler auftreten, die nichts über die pythagoreische Formel selbst aussagen.)

Die folgenden Darstellungen zeigen den relativen Fehler im Vergleich zum korrekten Abstand auf dem WGS 84-Ellipsoid für Breiten von -70 bis 0 in Schritten von 10 Grad. Die horizontale Koordinate ist der Längenunterschied und die vertikale Koordinate ist der Breitengrad des Ziels. Helle Bereiche weisen einen relativ kleinen Fehler auf: Die Konturlinien liegen bei 1, 1,01, 1,02, 1,05, 1,1, 1,2, 1,5, 2 usw. (Die rein weißen Bereiche in den Ecken sind Stellen, an denen der Fehler über den Bereich dieser Konturen hinausgeht .) Die roten Punkte zeigen den Ursprungspunkt.

Die vertikalen weißen Streifen belegen die Richtigkeit der Erwartung (1): Pythagoreische Abstände sind genau, wenn es einen kleinen Längenunterschied gibt. Die horizontalen weißen Bänder in niedrigen Breiten bestätigen die Erwartung (2): In der Nähe des Äquators sind die horizontalen Abstände ziemlich genau. Ansonsten ist die pythagoreische Formel , wie die ausgedehnten, dunkleren Regionen belegen, in allen anderen Entfernungen schlecht.

Wir können quantitative Schätzungen des Maximums vornehmenFehler, der für Paare von nahegelegenen Punkten erreicht wird (beispielsweise innerhalb einiger hundert Kilometer voneinander). Die Skalierung - unter Verwendung eines geeigneten Werts für den Radius - gilt entlang des Meridians, aber entlang eines Breitengradkreises irrt sie sich ungefähr um die Sekante des Breitengrads. Bei einem Breitengrad von 40 Grad beträgt die Sekante beispielsweise 1,31, was bedeutet, dass die pythagoreische Formel Entfernungen in Ost-West-Richtung ergibt, die etwa 31% zu groß sind. (Dies ist in der oberen rechten Konturdarstellung für einen Ursprungspunkt bei -40 Grad Breite ersichtlich, bei dem der Bereich unmittelbar östlich-westlich des roten Punkts zwischen den Konturen 1,2 und 1,5 liegt.) Kurze Abstände in alle anderen Richtungen sind um einen gewissen Betrag zwischen 0% und 31% zu groß; längere Distanzen können sich sogar noch mehr irren (wie die Konturdiagramme zeigen).

Ich habe "pythagonische Distanz" als "euklidische Distanz" interpretiert. Dann ist die Antwort dieselbe wie "Was ist der Unterschied zwischen der Länge eines Kreisakkords und dem begrenzten Umfang?" Der Radius sei R, der Winkel ist A (Bogenmaß).

perimeter = L = A*R
chord = C = 2*sin(A/2)*R
diff = D = L - C
     = (A-2*sin(A/2))*R
     = A^3/24 * R  (for A small)
     = L^3/(24*R^2) (eliminating A)
relative error = D/L
               = (L/R)^2/24

Ersetzen Sie die Erde durch R = 6400 km. Nennen Sie es übrigens "Großkreisentfernung" (was es ist), nicht "Hauptkreisentfernung" (wie es berechnet wird). (Dies ähnelt der Unterscheidung zwischen pythagoreischer und euklidischer Distanz.)

Eine vollständige und genaue Antwort finden Sie in der obigen Antwort von whuber . Ich werde auf eine visuellere und grundlegendere Weise antworten.

Der Grund, warum planare / pythagoreische Berechnungen ungeeignet sind, ist, dass die Berechnungen auf der Tatsache beruhen, dass das Bewegen um einen Schritt in eine beliebige Richtung eine konstante Änderung der Größe darstellt, unabhängig davon, wo Sie sich in der Grafik befinden.

Longitude entspricht nicht dieser Anforderung. Längengrade laufen an den Polen zusammen.

Das ist der Grund, warum wir Verzerrungen bekommen, wenn wir die Erde abflachen, um die Regeln eines planaren Graphen widerzuspiegeln.

Auf dieser Karte sieht es so aus, als hätte Grönland ungefähr die Größe Afrikas und die Antarktis etwa die Größe Eurasiens. Das stimmt natürlich nicht. Grönland und die Antarktis sind beide extrem verzerrt, weil sie sich in der Nähe der Pole befinden, an denen die Längengrade zusammenlaufen.

Wie Sie sehen können, ist Grönland ungefähr so ​​groß wie Mexiko.

Und die Antarktis ist ungefähr so ​​groß wie das südliche Afrika (nicht Südafrika).

Wie Sie sehen, hängen die Fehler beim Anwenden von pythagoräischen Formeln mehr davon ab, wo sich die Punkte befinden als vom Abstand zwischen den Punkten. Mit dem wichtigen Vorbehalt, dass längere Entfernungen Fehler vergrößern. Aus diesem Grund sind planare Lösungen, obwohl sie verlockend sind, eine schlechte Wahl. Verzerrungen werden Sie beißen und es ist nicht so einfach wie ein Offset. Die Fehler sind darauf zurückzuführen, dass die Erde nach unangemessenen Regeln verformt wurde.