Bedingte Stabilität

Ich lerne etwas über Operationsverstärker und Feedback und wie Feedback ihre Stabilität beeinflusst. Ich habe über Verstärkung und Phase - Marge zu lesen und ihre Verwendung , wenn stieß ich auf diese :

Ich verstehe nicht ganz, wie das auf dem Bild gezeigte System stabil sein wird, da bei etwa 2 kHz die Rückkopplung positiv ist. Ich hätte gedacht, dass dies dazu führen würde, dass eine 2-kHz-Frequenz immer größer wird und nicht konvergiert.

Warum wird dieses System stabil sein?

Dies ist genau der Grund, warum ich denke, dass Menschen die Stabilität zuerst mit Nyquist-Plots untersuchen sollten, DANN mit Bode-Plots und den dazugehörigen Verstärkungs- und Phasenranddiagrammen.

Die Verstärkungs- / Phasenränder sind nur eine bequeme Methode, um zu bestimmen, wie nahe das System an Polen auf der rechten Seite der komplexen Ebene kommt, in Bezug darauf, wie nahe das Nyquist-Diagramm an -1 kommt, da diese Terme nach teilweiser Brucherweiterung mit Positive Pole enden als Exponentiale der Zeit mit positivem Koeffizienten, was bedeutet, dass sie ins Unendliche gehen, was bedeutet, dass sie instabil sind.

Sie funktionieren jedoch nur, wenn der Nyquist-Plot "normal" aussieht. Es kann sehr gut sein, dass es so etwas tut:

Es verstößt also gegen die Phasenrandregel, aber die Übertragungsfunktion G (s) H (s) mit offenem Regelkreis umkreist -1 nicht, sodass 1 + G (s) H (s) auf der rechten Seite keine Nullen hat. Dies bedeutet, dass die geschlossene Schleife keine Pole auf der rechten Seite hat und daher immer noch stabil ist.

Das Wort bedingt kommt von der Tatsache, dass die Verstärkung eine Ober- / Untergrenze hat, um dies so zu halten, und das Überschreiten dieser Grenzen macht das System instabil (weil es die Kurve genug verschiebt, um die Häufigkeit zu ändern, mit der -1 eingekreist wird).

Bedingte Stabilität in einer offenen Antwort.

Da dies von Ridley stammt, können Sie zunächst darauf wetten, dass dies eine offene Antwort eines Stromrichters ist. Diese Reaktion ist für die gezeigte Verstärkung für kleine lineare Schleifenstörungen stabil. Wenn die Schleifenstörung groß genug wird, um die Verstärker in einen nichtlinearen Betrieb zu versetzen, wird die Schleife wahrscheinlich oszillierend, da der Betrieb des nichtlinearen Bereichs eine geringere Verstärkerverstärkung aufweist.

Das Problem bei solchen Schleifen besteht darin, dass Systeme, obwohl sie stabil sind, häufig eine Verstärkung aufweisen, die stark mit der Eingangsspannung oder Last oder Temperatur oder einer Kombination aus all diesen variiert. Wenn Sie eine bedingt stabile Schleife verwenden, müssen Sie sicherstellen, dass keine dieser Abhängigkeiten während eines Betriebsmodus (einschließlich der Startbedingungen) ein Faktor ist. Sobald diese Arten von Schleifen zu schwingen beginnen, neigen sie dazu zu bleiben (die Schwingung verringert die Verstärkung, um dies zu erreichen).

Beachten Sie, dass die gezeigte Schleife mit 2 Nullen richtig kompensiert wird, um die 2 Pole abzudecken. Das Problem ist, dass die Pole wahrscheinlich von einem LC-Filter (komplexe Pole) in der Schleife stammen. Es wird eine verlustarme Induktivität und eine verlustarme Kondensatorbank geben, die zusammen eine Antwort mit hohem Q ergeben. Da dieses Q hoch ist, erfolgt der gesamte Phasenbeitrag des LC in einem sehr kleinen Frequenzbereich; Aus dem Diagramm geht hervor, dass es sich um eine Oktave für einen Phasenverlust von 180 Grad handelt. Opamp-Kompensationsnullstellen sind einfach, und daher erfolgt eine Phasenverstärkung über eine Frequenzspanne von 2 Jahrzehnten (mindestens). Obwohl es eine ausreichende Phasenverstärkung gibt, um den LC-Phasenverlust abzudecken, gibt es in der Mitte in der Nähe der Pole einen Phasendip und keinen oder einen negativen Phasenrand.

Mögliche Abhilfemaßnahmen für diese Art von Schleifenantwort:

• Die kompensatorischen Nullen können geteilt werden, so dass man vor den Polen hereinkommt (die Pole einklammern), wodurch frühzeitig ein Phasenkick hinzugefügt wird. Dies könnte zu einem größeren Phasenabstand beim Phasendip führen, ist jedoch möglicherweise nicht ausreichend.

• Die beste Maßnahme besteht normalerweise darin, die Güte des LC-Filters zu verringern.

Schleifendekonstruktion:

Um zu zeigen, wie diese Art der Reaktion auf offene Schleifen zustande kommen kann, kann die Schleife mithilfe eines einfachen Modells dekonstruiert werden.

Ich kenne die Schaltung, die die Antwort des OP ausgelöst hat, nicht wirklich, aber ich vermute, basierend auf der Art und Weise, wie die Antwort aussieht, dass sie von einem Boost-Regler im kontinuierlichen Conducton-Modus stammt. Ein Grundmodell würde einen LC-Filter, einen PowerModulator und einen Fehlerverstärker umfassen. Ein Halbschema einer AC-Open-Loop-Version lautet:

Die Schaltung spiegelt im Allgemeinen das Verhalten einer CCM-Boost-Schleife wider, obwohl die Angaben hier so gewählt wurden, dass sie angemessen sind und die bequemste Übereinstimmung mit der veröffentlichten Schleife erzielen ... mit dem geringsten Arbeitsaufwand. Dies ist nur ein Werkzeug, um alle Teile der Schleife zu trennen und zu zeigen, wie sie zusammen die Gesamtschleife bilden würden.

Beginnen wir mit dem Ergebnis dieses Modells, der vollständigen Schleife:

Nicht schlecht ... sieht dem Original ziemlich nahe. Sie können sehen, dass der Grundcharakter der Schleife ein Integrator mit einer LC-Resonanzstörung bei 1000 Hz ist. Bei Frequenzen unterhalb der LC-Pole fällt die Schleifenverstärkung bei -20 dB pro Jahrzehnt ab, und bei Frequenzen oberhalb der LC-Pole nimmt die Verstärkung wieder bei -20 dB pro Jahrzehnt ab. Da es also insgesamt einen Abrollvorgang von 1 Pol (-20 dB /) gibt, hat etwas diese 2 LC-Pole verwaltet, indem es sie mit Nullen bedeckt. Es gibt zusätzliche Artefakte, die über ~ 20 kHz auftreten. ESR-Null im LC-Filter, rechte Halbebene Null (rhpz) und Nyquist-Frequenz; was kurz erwähnt wird.

LC-Filterantwort:

$C_o$

Leistungsmodulator mit LC-Filter:

Der Leistungsmodulator wurde hier zum LC-Filter hinzugefügt. Der Leistungsmodulator hat eine Verstärkung von 30 dB, die rechte Halbebene Null bei 70 kHz und einen Pol für die Nyquist-Frequenz bei 100 kHz (ja, ich weiß, dass das Hinzufügen eines Pols nicht der richtige Weg ist, um mit Nyquist umzugehen, aber es muss dafür getan werden ). Abgesehen von einer Verstärkung von 30 dB sieht das Verstärkungsdiagramm genauso aus wie nur das LC. Aber was ist mit dieser Phase? Es ist das rhpz, das eine Phase wie ein lhp-Pol aufweist, aber wie eine lhp-Null gewinnt. Dies ist hauptsächlich der Grund, warum sich die Open-Loop-Phase nie so stark erholt, wie Sie es nach der LC-Resonanz denken würden.

Fehlerverstärker:

Hier sehen Sie die Verstärkerantwort mit ihrem Niederfrequenz-Integratorpol, gefolgt von 2 Nullen bei etwa 1 kHz und 7 kHz, einem Pol bei 42 kHz, um die letzte Null zu glätten, bevor die Verstärkungsbandbreitengrenze des Verstärkers erreicht wird.

Der Operationsverstärker hatte eine Bandbreite von 20 MHz mit einer Verstärkung von 140 dB und einen 2-Hz-Niederfrequenzpol. Die Integratorverstärkung wird durch R1 und C1 eingestellt. Die erste Null wird durch C1 und R3 gesetzt. Die zweite Null wird durch C2 und R1 gesetzt. Der Nivellierstab wird durch C2 und R2 eingestellt.

Zuerst ein bisschen Klarstellung. Was Sie zeichnen, ist die Schleifenverstärkung L (s), die G (s) H (s) im folgenden Diagramm entsprechen würde:

Die vollständige Übertragungsfunktion (auch als Closed-Loop-Verstärkung bezeichnet ) lautet in diesem Fall:

Die inverse Transformation hat wachsende Exponentiale (was bedeutet, dass es sich um ein instabiles System handelt), wenn diese Funktion Pole auf der rechten Seite (RHS) der S-Ebene hat. Dies entspricht dem Herausfinden, ob auf der rechten Seite der S-Ebene von 1 + L (s) Nullen vorhanden sind. Grundsätzlich wird die Instabilität durch die Schleifenverstärkung bestimmt. Es ist nicht erforderlich, die komplexere Regelverstärkung zu berechnen. Wenn es also um Stabilität geht, beziehen sich die Diagramme fast immer auf die Schleifenverstärkung L (s).

Zurück zu Ihrer Frage:

In Bezug auf die Behauptung, dass das System instabil ist, wenn die Verstärkung mit invertierter Phase (-180) größer als 0 dB ist, möchte ich mit einem leicht erkennbaren Gegenbeispiel antworten. Betrachten Sie das sehr einfache:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

Nach dem übermäßig angenommenen Kriterium, das besagt:

Wenn die Schleifenverstärkung bei -180 ° positiv ist, ist das System instabil.

Dann wenn | K | > 1 dann muss es instabil sein.

Das ist es aber nicht. Die Ausgabe ist:

Stabil.

Wenn andererseits K = -1 ist, haben wir ein Problem (es wird instabil).

Das Obige war nur ein Beispiel für eine Konstante, aber im Allgemeinen bedeutet das Wissen, dass die Verstärkung bei -180> 0 dB ist, nicht, dass das System instabil ist . Wenn Ihr Buch das sagt, ist es falsch (aber es scheint für viele typische Fälle richtig zu sein).

Wenn Sie sich vorstellen, dass das obige System eine winzige Verzögerung aufweist und das Signal E keine Zeit hatte zu reagieren und den falschen Wert hat, und dann sehen, wie es sich iterativ durch die Schleife ausbreitet, werden Sie schließen, dass das Signal ohne wächst gebunden. Und damit geraten Sie in eine mentale Falle, aus der man nur schwer herauskommt. Ich denke, dies ist das zugrunde liegende Missverständnis, das es nicht erlaubt, konzeptionell zu akzeptieren, dass das System in Ihrer Frage stabil sein kann.

Das Bode-Diagramm ist nur ein Teil von Nyquist, und das Bode-Stabilitätskriterium gilt nur, wenn das Nyquist-Diagramm typisch ist, aber Bode ist nur eine Annehmlichkeit (es ist einfacher zu zeichnen als Nyquist).

Nyquist-Diagramme und seine vereinfachte Version von Bode-Diagrammen sind nur grafische Methoden, um hauptsächlich:

1. Finden Sie heraus, ob das System über RHS-Pole verfügt, die zu wachsenden Exponentialen werden.
2. Erhalten Sie einen Einblick, wie weit das System von Stabilität / Instabilität entfernt ist und was dagegen getan werden kann.

Auch nur zur Verdeutlichung gibt es keine Überflutung, die instabile Frequenzen minimiert. Eine einfache Erklärung besteht darin, zu berücksichtigen, dass die Gesamtantwort die Überlagerung der Antworten aller Frequenzen ist, so dass es einfach keine Möglichkeit gibt, sie zu fixieren, so wie Sie eine Sinuskurve einer bestimmten Frequenz mit einer beliebigen Anzahl von nicht aufheben können Sinus mit unterschiedlichen Frequenzen.

Andererseits ist es auch falsch, in Frequenzen zu denken, die das System instabil machen. Diese Instabilität ist nicht dasselbe wie eine unendlich resonante Frequenz, wie in einem ungedämpften System 2. Ordnung. Das ist ein Oszillationssystem, aber die Instabilität, von der wir sprechen, besteht darin, mit jeder Eingabe (außer Null) grenzenlos zu wachsen.

Ein einfacher Weg, dies zu beweisen, ist die Erkenntnis, dass ein instabiles System Pole auf der rechten Seite der S-Ebene hat und dass:

Es gibt also keine Möglichkeit, einen Pol in der Übertragungsfunktion aufzuheben, der ihn multipliziert. Die Ausgabe wächst weiterhin ohne Grenzen.

Die Schwingungsantwort kommt nur ins Spiel, wenn die Phase beim Nulldurchgang der Verstärkung schlecht ist. Diese Schleife ist bedingt stabil, da ein Faktor, der die Verstärkung verringert (was zu einem früheren Übergang führt), in dem 2-kHz-Bereich übergehen kann, in dem die Phase gefährlich ist, und die Schwingungsantwort erzeugt.

Um diese Schleife bedingungslos stabil zu machen, müsste entweder eine Phasenverstärkung durchgeführt werden, um diesen 2-kHz-Abschnitt aus der Gefahrenzone zu bewegen, oder die Verstärkung müsste mit einer viel niedrigeren Frequenz (in dem Bereich vor dem Phasenabsturz) übergehen.