Ich habe das Buch Ogata Modern Control Engineering durchgearbeitet und mehrere Übungen durchgearbeitet, um mein Verständnis der grundlegenden Steuerungsprinzipien zu verbessern. Ich bin auf das folgende Beispiel gestoßen, das ich nur schwer lösen kann.

Ich muss mir die Übertragungsfunktion einfallen lassen, die diese Vibrationsvorrichtung modelliert. Die Fragen lauten wie folgt:

In diesem Beispiel analysieren Sie einen Vibrationsprüfstand (Abb. 1). Dieses System besteht aus einer Massentabelle M und einer Spule, deren Masse m ist. Ein permanent am Boden befestigter Permanentmagnet sorgt für ein stetiges Magnetfeld. Die Bewegung der Spule 𝑦 durch das Magnetfeld induziert eine Spannung in der Spule, die proportional zu ihrer Geschwindigkeit 𝑦̇ ist, wie in Gl. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [Gl. 1]

Durch den Stromdurchgang durch die Spule erfährt sie eine dem Strom proportionale Magnetkraft wie in Gl. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [Gleichung 2]

Frage: Erhalten Sie eine parametrische Übertragungsfunktion mit Ausgang 𝑥 zu Eingang 𝑉.

Einige Fragen, die ich schwer zu beantworten finde, aber die gesamte TF betreffen, sind:

Wenn K2 und B2 um einen Abstand Z komprimiert sind (wenn sie sich
aufgrund der mit dem Magnetfeld wechselwirkenden Spule nach oben bewegen), bedeutet dies, dass k1 und b1 um denselben Abstand Z verlängert werden?
Wenn sich m(Spule) um 2 cm nach oben bewegt, bewegt sich M(Tisch) auch um 2 cm nach oben?

Was ich tun muss:

Überlegen Sie sich zwei separate Freikörperdiagramme, eines für die Masse M des Tisches und eines für die Masse m der Spule.
Skizzieren Sie einen Schaltplan einschließlich Gegen-EMK.
In S-Domain umwandeln.
Gleichzeitig lösen.

Was ich bisher gemacht habe:

Zeichnen Sie, um Freikörperdiagramme zu trennen und Gleichungen zu extrahieren.
Zeichnen Sie den Schaltplan und extrahieren Sie die Gleichung.
In S-Domain konvertieren.

Mit der MATLAB-Funktion konnte solveich zwei verschiedene Übertragungsfunktionen 5. Ordnung erhalten (eine für jede Methode, die ich unten vorschlage). Ich bin mir jedoch nicht sicher, welche richtig ist und warum.

Gesamtsystem :

Dies ist eine schematische Darstellung, wie meiner Meinung nach die Vibrationstestvorrichtung ohne den elektrischen Teil modelliert werden kann.

Freikörperbild 1 - Tabelle - Aufwärtskonvention

Federn k1und k2und Dämpfer b1und b2werden separat modelliert . Da sie nicht zusammengefügt und als eins betrachtet werden können, sind ihre Komprimierung und Erweiterung getrennt.

Die Aufwärtskraft kommt von k2und b2die an der Spule angebracht sind. Diese erleben eine Aufwärtsbewegung.

Gleichung in der S-Domäne:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Freikörperdiagramm 2 - Spule - Aufwärtskonvention

Die Spule erfährt eine Kraft nach oben, jedoch halten die Feder und der Dämpfer sie zurück und wirken somit in die entgegengesetzte Richtung.

Gleichung in der S-Domäne:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Die beiden oben gezeigten unterschiedlichen Methoden für die FBD der Tabelle führen zu unterschiedlichen Gleichungen in der S-Domäne und unterschiedlichen Übertragungsfunktionen.

Was ist das richtige Freikörperdiagramm für Tisch und Spule?

— rrz0
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Schöne Frage, aber bitte posten Sie ein Foto, auf dem die Details klar sind, ohne dass wir darauf klicken müssen, um es zu vergrößern. ZB sind diese Minuszeichen kaum zu erkennen. Außerdem wurde die Gleichung unten links teilweise beschnitten. Es gibt viel freien Speicherplatz auf Ihrem Blatt, um die Dinge größer zu machen. Es gibt viele kostenlose Bildbearbeitungsprogramme im Internet (z. B. IrfanView oder FastSstone ImageViewer), sodass Sie auch mehrere Bilder Ihrer Blätter aufnehmen und die Teile ausschneiden / zuschneiden können, die Sie benötigen, um schöne Bilder zu veröffentlichen.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

@ LorenzoDonati, danke für den Vorschlag, wird sofort bearbeitet. In Bezug auf die Gleichung unten links ist dies nicht von Interesse, da mein Anliegen das Freikörperdiagramm ist. Wenn das richtig ist, ist die Gleichung korrekt. Ich werde jedoch versuchen, entsprechend zu bearbeiten. Vielen Dank für Ihr Feedback.

— rrz0

Versuchen Sie, keine Annahmen darüber zu treffen, was Sie falsch gemacht haben. Das Posten eines Satzes schön gezeichneter Gleichungen nach Ihrem Gedankengang zeigt Ihre Bemühungen (und verbessert somit Ihre Frage - gibt ihr mehr Chancen, beantwortet zu werden) und kann auch auf mögliche Fehler hinweisen. Alle relevanten Informationen zu Ihrem Problem können für den potenziellen Antwortenden hilfreich sein.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

Übrigens, wenn Sie mit der LaTeX-Syntax vertraut sind, kann der Frageneditor die "Dollar-Notation" von LaTeX-Formeln verstehen (siehe Online-Hilfe).

— Lorenzo Donati - Codidact.org

Danke @LorenzoDonati, ich versuche die Frage strukturierter und leserlicher darzustellen.

— rrz0

Intro

M und m haben nur einen Freiheitsgrad; beide können sich nur vertikal bewegen. Die Magnetkraft wirkt direkt auf den Magneten m, nicht auf die Masse M.

Um das Bild ein wenig zu entmystifizieren, kann es hilfreich sein, sich den Magneten auf der anderen Seite des Tisches vorzustellen. Das Bild wurde in LTSPICE gezeichnet und hat keine Pfeile. Die nächste Annäherung an einen Pfeil ist also der Ausgangsstift, und da diese nur horizontal nach rechts zeigen können, wird das gesamte Bild um nach rechts gedreht. Aus dem gleichen Grund zeigen die Pfeile '-y' und '-F' nach rechts, während ich die Pfeile 'y' und 'F' gerne nach links gezeichnet hätte. Ferner sollte das rechte lauten . $90^o$ $b_1$ $b_2$

Elektromagnetisch angeregter Schwingungstisch

Nun ist klar, dass dies eine Reihenschaltung von Massen mit dynamischen Elementen zwischen ihnen ist, also beginnen wir, die Bewegungsgleichungen von rechts nach links aufzuschreiben, beginnend mit der elektrischen Gleichung für m, die V, y und F enthält.
Danach schreiben wir die Bewegungsgleichung für m und für M.
Da M nicht durch eine Magnetkraft beeinflusst wird, gibt uns diese letzte Gleichung y als Funktion von x, die in der ersten Gleichung verwendet wird, auf die x bezogen wird V. V.

Elektrisch

Die Magnetkraft und die Bewegung des Magneten werden über die Spannung an der Spule gekoppelt. Und weil und unter der Annahme, dass L unabhängig von y ist, haben wir

e = α \dot{y}, F = β i, V - e = R i + L \dot{i}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$

V - e = V - α \dot{y} = R i + L \dot{i} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

Jetzt haben wir in Bezug auf (und ), und wir können die Bewegungsgleichungen schreiben, indem wir alle Kräfte auf die sich bewegenden Objekte addieren und sie zwingen, Null zu sein (gesetzlich). $y$ $F$ $V$

Der Magnet

F + m \ddot{y} + b_{2} (\dot{y} - \dot{x}) + k_{2} (y - x) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$ Wir können die obige Beziehung zwischen F und y in der s-Domäne lösen und daher Die Summe der Kräfte auf den Magneten ist Null, daher (und zur besseren Lesbarkeit sind die Positionen noch nicht in die s-Domäne transformiert) Nach der Transformation in die S-Domäne sieht diese Gleichung wie folgt aus:

V - α \dot{y} = V (s) - α s y = (R + L s) i = (R + L s) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$

F = \frac{β}{R + L s} (V (s) - α s y)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m \ddot{y} + k_{2} (y - x) + b_{2} (\dot{y} - \dot{x}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m s^{2} y + k_{2} (y - x) + b_{2} s (y - x) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$ Nach der wird dies zu Wenn wir und isolieren, erhalten wir

m s^{2} y + (b_{2} - \frac{α β}{R + L s}) s y + k_{2} y - b_{2} s x - k_{2} x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

x

$x$

y

$y$

(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) y - (b_{2} s + k_{2}) x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

Der bewegliche Tisch

Für die bewegliche Tabelle lautet die maßgebliche Gleichung Nach der Transformation in s -Domäne Diese Gleichungen sehen aus wie Nach der wird dies zu wir und isolieren, erhalten wir Schreiben Sie diese Gleichung neu, um y in Bezug auf x zu erhalten.

M \ddot{x} + k_{1} x + b_{1} \dot{x} + k_{2} (x - y) + b_{2} (\dot{x} - \dot{y}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$

M s^{2} x + k_{1} x + b_{1} s x + k_{2} (x - y) + b_{2} s (x - y) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$

- b_{2} s y - k_{2} y + M s^{2} x + (b_{1} + b_{2}) s x + (k_{1} + k_{2}) x = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$

x

$x$

y

$y$

- (b_{2} s + k_{2}) y + {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}} x = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$

y = \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} x

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

Ensemble

Setzen Sie von oben in die Beziehung zwischen , und für den Magneten ein: $y=f(x)$ $x$ $y$ $V$

[(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} - (b_{2} s + k_{2})] x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren, erhalten wir $R+Ls$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})}{b_{2} s + k_{2}} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})] x = - β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

Als nächstes multiplizieren wir beide Seiten mit und erhalten $b_2s+k_2$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})^{2}] x = - (b_{2} s + k_{2}) β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

Aus der Sichtprüfung folgt, dass wir eine Übertragungsfunktion mit einer maximalen Ordnung von 1 im Nominator und von 5 im Nenner erwarten können . Es ist möglich, dass eine Null mit dem einen Pol aufgehoben wird, aber das ist spekulativ und würde etwas mehr Umschreiben erfordern, um dies herauszufinden. $x(s)/V(s)$

— Joe Electro
quelle

Kommentare sind nicht für eine ausführliche Diskussion gedacht. Dieses Gespräch wurde in den Chat verschoben .

— Dave Tweed

Ermitteln der Übertragungsfunktion des Federmassendämpfersystems

Gesamtsystem :

Freikörperbild 1 - Tabelle - Aufwärtskonvention

Freikörperdiagramm 2 - Spule - Aufwärtskonvention

Intro

Elektrisch

Der Magnet

Der bewegliche Tisch

Ensemble