Kontinuitätsaxiom in der erwarteten Nützlichkeitstheorie

Nehmen Sie die folgende Definition von Kontinuität.

Die Präferenzbeziehung über den Raum der Lotterien ist stetig, wenn für jedes die Mengen und sind beide geschlossen. $\succsim$ $\mathcal L$ $L,L',L''\in\mathcal L$
$S_{1} = {α \in [0, 1] : α L + (1 - α) L^{'} ≿ L^{″}}$ $S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$ $S_{2} = {α \in [0, 1] : L^{″} ≿ α L + (1 - α) L^{'}}$ $S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$

Stimmt es, dass $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Wenn ja warum?

microeconomics decision-theory expected-utility

— Herr K.
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Es ist.
Vor dem Durchgang, die eine ist Eigentum der Präferenzrelation, die Präferenz Beziehung selbst ist definiert ein binäres Verhältnis zu sein , die durch die Transitivität gekennzeichnet ist, und zu beginnen, durch Vollständigkeit . Wenn dann , bedeutet dies, dass irgendwo in einige Werte von existieren , nennen Sie sie für welche $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$ $\alpha$ $[0,1]$ $\tilde \alpha$

weder

{\tilde{α} L + (1 - \tilde{α}) L^{'} ≿ L^{″}}

$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$

Noch

{L^{″} ≿ \tilde{α} L + (1 - \tilde{α}) L^{'}}

$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$

In Worten, für diese ‚s, kann das Paar nicht bestellt werden überhaupt . Dies widerspricht jedoch der Vollständigkeitsgrundlage, die erforderlich ist, um überhaupt eine Präferenzbeziehung zu erhalten (wie natürlich in unserer Theorie verwendet. Psychologen würden dem wohl nicht zustimmen). $\tilde \alpha$

Beachten Sie auch, dass die Vollständigkeit für alle denkbaren Paare definiert ist, auch wenn wir in einer bestimmten Situation den Raum der Lotterien auf etwas Kleineres beschränkt haben. Ob die betrachteten Lotterien zum angegebenen Lotterieraum gehören, spielt keine Rolle. Die Person, die die Präferenzen hat, muss in jedem Fall in der Lage sein, sie zu bestellen, auch als "hypothetisches" Szenario (obwohl wir streng genommen für ein bestimmtes Problem den "Luxus" haben, Vollständigkeit nur in Bezug auf die verfügbaren Lotterien aufzuerlegen, während " Agnostisch bleiben "in Bezug auf die Vollständigkeit, wenn wir den Lotterieraum erweitern. Dennoch bringt diese" Schwächung "der Auferlegung des Vollständigkeitsaxioms keinen wirklichen Gewinn).

— Alecos Papadopoulos
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