Wie kann man eine Formel für die Grenzwahrscheinlichkeit der Auswahl eines Nestes im verschachtelten Logit-Modell ableiten?

Ich versuche, alle Details des verschachtelten Protokolls zu verstehen, und was mich verwirrt, ist die Formel für die marginale Wahrscheinlichkeit, das Nest zu wählen. Genauer gesagt: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum n die Alternative j wählt, kann als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum n das Nest k wählt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum i das j wählt, unter der Bedingung, dass es das Nest k gewählt hat, berücksichtigt werden.

Soweit ich weiß, zerlegen wir den Entscheidungsprozess in zwei Modelle: das obere und das untere. Im oberen Modell wählt der Entscheider ein Nest und im unteren - die Alternative innerhalb des Nestes. Sagen Sie Nützlichkeit von Individuum n, das Alternative j im Nest k wählt, ist

U_{n j k} = W_{n k} + Y_{n j} + ϵ_{n k} + e_{n j}

$U_{njk} = W_{nk} + Y_{nj} + \epsilon_{nk} + e_{nj}$

Dabei ist EV I mit dem Skalenparameter und so, dass der zusammengesetzte Fehlerterm EV I mit dem Skalenparameter 1 ist. $e_{nj}$ $\lambda_k$ $\epsilon_{nk}$

Das untere Modell ist trivial, es ist ein einfaches Protokoll. Das obere Modell ist mir jedoch nicht klar. Der erwartete Nutzen von Individuum n bei der Auswahl von Nest k ist

E U_{n k} = W_{n k} + λ_{k} I_{n k} + ϵ_{n k}

$EU_{nk} = W_{nk} + \lambda_kI_{nk} + \epsilon_{nk}$

Dabei wird erwartet, dass Dienstprogramm ist, das n aus der Auswahl innerhalb des Nestes erhält. Und die Grenzwahrscheinlichkeit für die Wahl von Nest k ist $\lambda_kI_{nk}$

P_{n B_{k}} = \frac{e^{W_{n k} + λ_{k} I_{n k}}}{\sum_{l = 1}^{K} e^{W_{n l} + λ_{k} I_{n}}}

$P_{nB_k}=\frac{e^{W_{nk}+\lambda_kI_{nk}}}{\sum_{l=1}^K e^{W_{nl}+\lambda_kI_{n}}}$

Meine Frage ist, wie hat diese Wahrscheinlichkeit eine Logit-Form, wenn kein Extremwert ist? Oder ist es? Denn meines Wissens ist die Summe zweier Extremwertvariablen kein Extremwert. $\epsilon_{nk}$

Vielen Dank!

academic-graduate decision-theory choice-theory

— Daria
quelle

Willkommen bei der Economics SE. Ich verstehe nicht Ihre ganze Notation, können Sie bitte erklären, was sind?

W_{n k}, Y_{n j}, B_{k}

$W_{nk}, Y_{nj}, B_k$

— Giskard

W_{n k}

$W_{nk}$ und sind deterministische Teile des Dienstprogramms. variiert nur zwischen Nestern und ist innerhalb des Nestes konstant, sagen wir , wenn Merkmale des Nestes sind. Das gleiche gilt für , aber es variiert auch innerhalb des Nestes.

Y_{n j}

$Y_{nj}$

W_{n k}

$W_{nk}$

W_{n k} = β X_{n k}

$W_{nk} = \beta X_{nk}$

X_{n k}

$X_{nk}$

Y_{n j}

$Y_{nj}$

— Daria

Wie sich herausstellte, war meine vorherige Logik falsch. So sollte es gemacht werden.

Die marginale Wahrscheinlichkeit, Nest wählen, ist $k$

P_{n B_{k}} = P [max_{j \in B_{k}} U_{n j k} \geq max_{j \in B_{s}} U_{n j s}, \forall s \neq k] = P [W_{n k} + ϵ_{n k} + max_{j \in B_{k}} (Y_{n j} + e_{n j}) \geq W_{n s} + ϵ_{n s} + max_{j \in B_{s}} (Y_{n j} + e_{n j}), \forall s \neq k]

$P_{nB_k} = P\left[\max_{j\in B_k} U_{njk} \geq \max_{j\in B_s} U_{njs}, \forall s\neq k \right]\\ = P\left[W_{nk}+\epsilon_{nk}+\max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj}) \geq W_{ns}+\epsilon_{ns}+\max_{j\in B_s}(Y_{nj}+e_{nj}), \forall s\neq k \right]$

Dann, da iid , ist iid Gumbel mit dem und dem Skalenparameter . Die Gumbel-Verteilung bleibt über lineare Transformationen erhalten, sodass wobei iid . Setzt man zurück auf marginale Wahrscheinlichkeit, erhalten $e_{nj}$ $Gumbel(0,\lambda_t)$ $\max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj})$ $\lambda_kI_{nk}$ $\lambda_k$

max_{j \in B_{k}} (Y_{n j} + e_{n j}) = λ_{k} I_{n k} + ξ_{n k}

$\max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj})=\lambda_kI_{nk}+\xi_{nk}$

ξ_{n k}

$\xi_{nk}$

G u m b e l (0, λ_{t})

$Gumbel(0,\lambda_t)$

P_{n B_{k}} = P [(ϵ_{n k} + ξ_{n k}) - (ϵ_{n k} + ξ_{n k}) \geq (W_{n k} + λ_{k} I_{n k}) - (W_{n s} + λ_{s} I_{n s}), \forall s \neq k] = \frac{e^{W_{n k} + λ_{k} I_{n k}}}{\sum_{s = 1}^{K} e^{W_{n s} + λ_{s} I_{n s}}}

$P_{nB_k} = P\left[(\epsilon_{nk}+\xi_{nk})-(\epsilon_{nk}+\xi_{nk}) \geq (W_{nk}+\lambda_kI_{nk})-(W_{ns}+\lambda_sI_{ns}), \forall s\neq k \right]\\ =\frac{e^{W_{nk}+\lambda_kI_{nk}}}{\sum_{s=1}^Ke^{W_{ns}+\lambda_sI_{ns}}}$

die letzte Gleichung folgt aus der Tatsache , dass ist IId durch Annahme auf . $\epsilon_{nk}+\xi_{nk}$ $Gumbel(0,1)$ $\epsilon_{nk}$

— Daria
quelle