Verursacht Risikoaversion einen abnehmenden Grenznutzen oder umgekehrt?

Sei die Menge möglicher Zustände der Welt oder mögliche Vorlieben, die eine Person haben könnte. Lassen G ( A ) die Menge der „Gambles“ oder „Lotterie“, dh die Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über A . Dann hätte jede Person eine bevorzugte Reihenfolge der Zustände in A sowie eine bevorzugte Reihenfolge der Lotterien in G ( A ) . Das von Neumann-Morgenstern-Theorem besagt, dass Ihre Präferenzen unter der Annahme, dass Ihre Präferenzordnung gegenüber G ( A ) bestimmten Rationalitätsaxiomen folgt, durch eine Nutzenfunktion u : A $A$$G(A)$$A$$A$$G(A)$$G(A)$ . (Diese Funktion ist bis zur Multiplikation von Skalaren und Addition von Konstanten einzigartig.) Das bedeutet, dass Sie für zwei beliebige Lotterienundindanngegenüberbevorzugen,wenn der erwartete Wert vonuntergrößer ist als der erwartete Wert vonunter. Mit anderen Worten, Sie maximieren den erwarteten Wert der Dienstprogrammfunktion.$u: A → ℝ$L 2 G ( A ) L 1 L 2 u L 1 u L $L_1$$L_2$$G(A)$$L_1$$L_2$$u$$L_1$$u$$L_2$

Nur weil Sie den erwarteten Wert Ihrer Utility-Funktion maximieren, bedeutet dies nicht, dass Sie den erwarteten Wert tatsächlicher Dinge wie Geld maximieren. Schließlich sind Menschen oft risikoscheu; Sie sagen, "ein Vogel in der Hand ist zwei im Busch wert". Risikoaversion bedeutet, dass Sie ein Glücksspiel weniger wertschätzen als erwartet. Wenn wir diesen Begriff in Bezug auf die von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ausdrücken, erhalten wir durch Jensens Ungleichung das folgende Ergebnis: Eine Person ist genau dann risikoscheu, wenn ihre Nutzenfunktion eine konkave Funktion Ihres Geldes ist, dh in welchem ​​Umfang Ihre Risikoaversion entspricht dem Ausmaß, in dem Sie einen abnehmenden Grenznutzen des Geldes haben. (Siehe Seite 13 dieses PDF .)

Meine Frage ist, in welche Richtung läuft die Kausalität? Spiegeln die Werte der Dienstprogrammfunktion von Neumann-Morgenstern die Intensität Ihrer Präferenzen wider und stellen eine Risikoaversion dar, da die Präferenzen zukünftiger wohlhabender Personen im Vergleich zu den Präferenzen zukünftiger Versionen von Ihnen, die ärmer und damit wertvoller sind, nicht berücksichtigt werden Geld mehr (wie Brad Delong hier vorschlägt )? Oder läuft die Ursache in die andere Richtung: Bestimmt Ihre Risikotoleranz die Form Ihrer Nutzenfunktion, sodass die von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion nichts über die relative Intensität Ihrer Präferenzen aussagt?

Ich glaube, ich habe in diesem Auszug aus dem 1994 auf dem 9. Internationalen Kongress für Logik, Methodik und Philosophie von Wissenschaft. Harsanyi beginnt damit, dasselbe Lemma zu beweisen, das Alecos in seiner Antwort bewiesen hat, nämlich dass, wenn eine vNM-Nutzenfunktion eines Individuums ist,u ( 10 ) - u ( 5 ) < u ( 5 ) - u ( 0 ) v u v v ( 10 ) - v ( 5 ) = v ( 5 ) - v ( 0 $u$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$genau dann, wenn sie garantierte 5 Dollar gegenüber 50% von 10 Dollar und einer 50% igen Chance von 0 Dollar bevorzugen würden. Im Kommentarbereich sagte ich, dass dies nicht ausreicht, um zu demonstrieren, dass die vNM-Nutzenfunktion die Intensität der Präferenzen darstellt, denn was ist, wenn das tatsächliche Vergnügen und der Schmerz des Individuums durch eine andere Nutzenfunktion genau beschrieben werden , die eine monotone Transformation, aber keine affine Transformation ist von ? In diesem Fall konnte nicht die erwartete Werteigenschaft erfüllen und konnte nicht ?$v$$u$$v$$v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi hat ein kluges Argument, das sich mit diesem Thema befasst. Sei die Lotterie, bei der du 5 Dollar garantiert , sei die Lotterie, bei der du eine 50% ige Chance von 10 Dollar und eine 50% ige Chance von 0 Dollar hast , und sei die Lotterie, bei der du eine 50% ige Chance hast 10 Dollar und eine 50% ige Chance von 5 Dollar. Dann bevorzugt die Person offensichtlich gegenüber und . Und Harsanyis argumentiert , dass auf bevorzugte ist weniger stark als bis bevorzugt wird , wenn und nur wenn . Das liegt daran, dass bei der Wahl zwischen,L 2 L 3 L 3 L 1 L 2 L 3 $L_1$$L_2$$L_3$$L_3$$L_1$$L_2$$L_3$L 3 L 2 v ( 10 ) - v ( 5 ) < v ( 5 ) - v ( 0 ) L 3 L 1 L 3 L $L_1$$L_3$$L_2$$v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$$L_3$ vs , 50% der Zeit erhalten sie 5 Dollar und 50% der Zeit müssen sie eine Wahl zwischen 10 und 5 treffen. Ähnlich erhalten sie bei der Wahl zwischen und 50% der Zeit 10 Dollar, und 50% der Zeit müssen sie eine Wahl zwischen 5 und 0 treffen. $L_1$$L_3$$L_2$

Jetzt kommt der Master Hub: bis bevorzugt wird , wenn und nur wenn bevorzugter ist weniger stark als bis bevorzugt wird . Daher ist dann vorzuziehen, wenn . Und so kommen wir zu dem großen Schluss, dass genau dann ist, wenn .L 2 L 3 L 1 L 3 L 2 L 1 5 ) < v ( 5 ) - v ( 0 $L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$L_1$ v ( 10 ) - v ( 5 ) < v ( 5 ) - v ( 0 ) u ( 10 ) - u ( 5 ) < u ( 5 ) - u ( 0 ) v ( 10 ) - v $L_2$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Somit gelangt Harasanyi zu dem Schluss, dass die vNM-Utility-Funktion Präferenzintensitäten darstellt. Die Antwort auf meine Frage scheint also zu sein, dass eine Verringerung des Grenznutzens in der vNM-Nutzfunktion eine echte Verringerung des Grenznutzens in Bezug auf die Intensität der Präferenzen widerspiegelt, und daher (unter der Annahme, dass die vNM-Axiome wahr sind) eine Verringerung des Grenznutzens tatsächlich die Ursache des Risikos ist Abneigung.

Nebenbei bemerkt frage ich mich, ob wir die Menge aller Funktionen identifizieren können , die die Bedingung erfüllen, dass u ( x ) - u ( y ) < u ( z ) - u ( w ) genau dann ist, wenn v ( x ) - v ( y ) < v ( z ) - v ( w ) (und ähnlich für größer als und gleich). (EDIT: Ich fragte dazu auf Mathematics.SE hier .)$v$$u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$$v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

Die Utility-Funktion ist eine Darstellung von Präferenzen, die traditionell aus Auswahlmöglichkeiten abgeleitet werden. Die Einstellungen stehen vor dem Dienstprogramm. Ich würde den Zusammenhang zwischen Nutzen und Präferenzkausalität nicht nur als mathematische Beziehung bezeichnen.

Risikoaversion (Risikopräferenz) ist nicht mit einer Diskontierung verbunden, die die Zeitpräferenz misst. Es ist nicht sinnvoll zu sagen, dass Risikoaversion auf die Diskontierung der Präferenzen zukünftiger Selbst zurückzuführen ist.

Die Expected Utility-Eigenschaft ist keine Eigenschaft, die von der Funktionsform der Utility-Funktion abhängt. Seine Existenz hängt davon ab, dass bestimmte "Axiome" (die genauer als "Bedingungen" bezeichnet werden) erfüllt werden, die mit Vorlieben / Verhalten von Menschen zu tun haben. Sie können einen strengen mathematischen Ausdruck erhalten (was gut ist), aber sie haben mit Präferenzen zu tun, dh bevor eine funktionale Form für die Utility-Funktion angegeben wird. Mal sehen, was das bedeutet. In einem Kommentar schrieb das OP

$[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Es tut.

Zitat aus Jehle & Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , Kap. 2 p. 108

"Wir schließen daraus, dass das Verhältnis der Nutzenunterschiede eine inhärente Bedeutung in Bezug auf die Präferenzen des Individuums hat und sie für jede VNM-Nutzenrepräsentation von (die schwache Präferenzbeziehung) den gleichen Wert annehmen müssen. Daher liefern VNM-Nutzenrepräsentationen deutlich mehr als ordinale Informationen über die Präferenzen des Entscheidungsträgers, denn ansonsten könnten solche Verhältnisse durch geeignete monotone Transformationen viele verschiedene Werte annehmen. "

In ihrem Beispiel kurz vor dem Zitat zeigen sie das

$\alpha$

$\alpha$

$(1-\alpha)/\alpha$

Hier sind Sie also: Eine vNM-Dienstprogrammfunktion ist mit den Gewinnchancen verknüpft, die die Präferenzen einer Person charakterisieren können.

ADDENDUM
Nach einem interessanten, aber zu langen Meinungs- und Gedankenaustausch in den Kommentaren mit dem OP habe ich beschlossen, diese Antwort mit einem Beispiel zu erweitern, um zu zeigen, dass im Kontext der spezifischen Präferenztheorie, die wir diskutieren, "Präferenzintensität" "(wie hier informell diskutiert) kann nicht von" Einstellung zum Risiko "getrennt werden - sie sind untrennbar miteinander verbunden.

Angenommen, ein Individuum erklärt (wie es jedes Recht hat): "Meine Vorlieben sind monoton und ich bevorzuge mehr zu weniger. Außerdem geben mir die nächsten fünf Euro genau den gleichen Nutzen wie die fünf nach ihnen." Beachten Sie, dass dies die Person ist, die spricht - wir können ihn nicht danach fragen, ob der Nutzen ein Kardinal sein kann oder nicht usw. Aus Gründen der Bequemlichkeit symbolisieren wir seine Aussage als Null

Im Rahmen der Diskussion mit dem OP handelt es sich um eine Aussage zur "Präferenzintensität".

$5$$G$$0$$1/2$$10$$1/2$$5$

Frage: Können die Präferenzen dieses Individuums, wie in seinen beiden Aussagen beschrieben, durch eine Utility-Funktion dargestellt werden, die die Expected Utility-Eigenschaft besitzt?

Antwort: Nein.

$CE_G$$5$

Deshalb haben wir das

Damit die Eigenschaft Expected Utility nun gültig ist, muss dies der Fall sein

$(2)$

$(1)$

Wir schließen daraus, dass eine Person, deren Präferenzen durch die obigen Aussagen beschrieben werden, nicht durch eine Utility-Funktion dargestellt werden kann, die die Expected Utility-Eigenschaft besitzt.

$5$$G$