Bevorzugung von Lotterien ohne Unabhängigkeitsaxiom

Angenommen , ein Satz von $N$ Ergebnisse können in der folgenden Reihenfolge eingeordnet werden: . Angenommen, ein Entscheidungsträger hat gegenüber diesen Ergebnissen den Vorzug vor Lotterien. Angenommen, die Präferenz gegenüber Lotterien ist rational, kontinuierlich, aber nicht unbedingt im Einklang mit dem Unabhängigkeitsaxiom .$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Folgt daraus, dass die beste Lotterie in diesem Fall die entartete Lotterie ist ?$(1,0,\dots,0)$

Was ist, wenn das Unabhängigkeitsaxiom verletzt wird ?

Nein, nicht unbedingt. Ohne das Unabhängigkeitsaxiom (oder etwas anderes, das es ersetzen kann) können Sie nicht viel über Präferenzen gegenüber (nicht entarteten) Lotterien ableiten, wenn Sie nur Präferenzen gegenüber Ergebnissen kennen.

Zum Beispiel sei die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse . Dann Präferenzen gegenüber Lotterien dargestellt durch die Utility-Funktion$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

sind kontinuierlich und rational, erfüllen aber nicht das Unabhängigkeitsaxiom. Für groß genug ist, ist nicht einmal die beste Lotterie, obwohl und .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Um zu sehen warum, beobachten Sie das

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Für ist jedoch$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

Eine Verletzung des Unabhängigkeitsaxioms kann aus der Tatsache gesehen werden, dass, wenn ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

obwohl

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$