Portfolio-Auswahl eines Risikoliebhabers

Nehmen Sie das in MWG (S.188-189) dargestellte Standard-Portfolio-Auswahlproblem, aber mit einem risikofreudigen Entscheidungsträger:

• mit anfänglichem Reichtum $w$
• einen Betrag investiert $\alpha$ in einer riskanten Asset mit einem zufälligen Bruttoertragsrate $z$ , wo $z$ nach CDF verteilt ist $F$ , und $\int zdF(z)>1$

$$\max_{\alpha\in[0,w]} \int u(w-\alpha +\alpha z) dF(z),$$ $u'>0$$u''>0$

Stimmt es, dass die optimale Lösung $\alpha^*=w$ ?

Da $u$ konvex ist, ist die übliche Bedingung erster Ordnung für ein Maximum nicht ausreichend.

Intuitiv sollte die Antwort ja sein. Aber was genau ist der Grund?

Da wir eine Ecklösung vermuten, ist es besser, das Problem explizit mit seiner Einschränkung zu schreiben. Verwenden Sie noch besser die Fritz John ( FJ ) -Bedingungen als die Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ) -Bedingungen. Wir werden die Unterschiede im weiteren Verlauf erwähnen.

$$\max_{\alpha} \int u[w+\alpha(z-1)] dF(z),\;\; \text{s.t.}\;\; w-\alpha \geq 0$$

Die Lagrange nach der Firtz-John-Formulierung ist

$$L_{FJ} = \lambda_0\int u[w+\alpha(z-1)] dF(z)\; + \; \lambda_1(w-\alpha)$$

Das neue Element ist der Multiplikator für die Zielfunktion . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir angeben$\lambda_0$

$$\lambda_0 \in \{0,1\},\;\; \lambda_0 + \lambda_1 \neq 0$$

Was gewinnen wir hier im Vergleich zu den weit verbreiteten und verwendeten KKT- Bedingungen? Wenn eine Lösung erfordert, erhalten wir die KKT- Bedingungen mit der erfüllten Einschränkungsqualifikation . Wenn für eine Lösung erforderlich ist, gibt dies unter anderem den Fall wieder, in dem die Einschränkungsqualifikation nicht gültig ist. $\lambda_0 =1$$\lambda_0 =0$

(Ein Standardbeispiel ist der Fall, in dem die realisierbare Menge für aufgrund der auferlegten Einschränkungen auf einen einzigen Punkt reduziert wurde. Dann werden wir feststellen, dass die einzige Lösung vorschreibt , was eine intuitive Erklärung hat: if kann aufgrund der Einschränkungen nur einen einzigen Wert annehmen, dann spielt die Zielfunktion "keine Rolle" bei der Bestimmung von und erhält einen Nullmultiplikator.$\alpha$$\lambda_0=0$$\alpha$$\alpha$

Zurück zu unserem Problem. Die erste Bestellbedingung ist

$$\frac {\partial L_{FJ}}{\partial \alpha} = \lambda_0\int u'[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) - \lambda_1 \leq 0$$

(Beachten Sie das "niedriger oder gleich Null", was der Fall ist, wenn unter Ungleichheitsbeschränkungen optimiert wird, anstatt nur "gleich").

Zuerst stellen wir fest, dass . Aufgrund von und der (strengen) Konvexität der Nutzenfunktion, und der Annahme, dass ist (unter Verwendung von Jensens Ungleichung)$\alpha^* >0$$u'>0$$u''>0$$E(z) >1$

$$E[u(w+\alpha(z-1))] > u(w+\alpha(E(z)-1))] > u(w + 0\cdot(E(z)-1))=u(w)$$

Wir wenden uns nun den Fällen zu. Da die beiden Multiplikatoren nicht beide Null sein können und nur zwei Werte annimmt, gibt es drei mögliche Kombinationen.$\lambda_0$

Untersuche den Fall . $\lambda_0 =1$
Dann kann grundsätzlich Null oder positiv sein. Untersuchen Sie den Fall, in dem , dh die Bedingung ist nicht bindend, was impliziert, dass . Mit diesem Kandidatenpaar von Multiplikatoren, , würde die Bedingung erster Ordnung werden$\lambda_1$$\lambda_1 =0$$\alpha^* < w$$\{\lambda_0=1,\lambda_1=0\}$

$$\int u'[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) \leq 0 \Rightarrow E(zu') - E(u') \leq 0$$

Da . Auch da , haben wir das$u'>0 \Rightarrow E(u') > 0$$E(z)>1$

$$E(u')< E(u')E(z) \Rightarrow E(zu') < E(u')E(z) \Rightarrow \text{Cov}(z, u')<0$$

Dies kann aber nicht gelten, da wir , da und , haben, dass in streng zunehmen wird . Die Kovarianz von und kann also nicht negativ sein. Aber dann kann das Paar von Multiplikatorwerten keine Lösung sein, und dies geschieht aufgrund der Annahme . $\alpha^*>0$$u''>0$$u'$$z$$z$$u'$$\{\lambda_0=1,\lambda_1=0\}$$u''>0$

Wir haben die Fälle oder . In beiden Fällen ist dh die Bedingung ist bindend, dh wir haben . QED.$\{\lambda_0=1,\lambda_1>0\}$$\{\lambda_0=0,\lambda_1>0\}$$\lambda_1 >0$$\alpha^* = w$

Verweise

Die Fritz-John-Bedingungen wurden in " F. JOHN. Extremum-Probleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen. In" Studies and Essays, Courant Anniversary Volume " (KO Friedrichs, OE Neugebauer und JJ Stoker, Hrsg.), S. 187-204 angegeben Wiley (Interscience), New York, 1948

und wurden verallgemeinert in

" Mangas, OL & Fromovitz, S. (1967). Die Fritz John notwendigen Optimalitätsbedingungen in Gegenwart von Gleichheit und Ungleichheit Zwänge . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 17 (1), 37-47.