Wie kann ich die Produktionsfunktion von Leontief und Cobb-Douglas über die CES-Funktion beziehen?

In den meisten Microeconomics-Lehrbüchern wird erwähnt, dass die Produktionsfunktion der konstanten Elastizität der Substitution (CES)

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(wobei die Substitutionselastizität ), hat sowohl die Leontief-Produktionsfunktion als auch die Cobb-Douglas-Funktion ihre Grenzen. Speziell, $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

und

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

Sie liefern jedoch niemals den mathematischen Beweis für diese Ergebnisse.

Kann jemand bitte diese Beweise vorlegen?

Darüber hinaus beinhaltet die obige CES-Funktion eine konstante Rückkehr zum Maßstab (Homogenität des ersten Grades), da der äußere Exponent $-1/\rho$ . Wenn dies z. B. $-k/\rho$ wäre, wäre der Homogenitätsgrad $k$ .

Wie werden die Grenzwerte beeinflusst, wenn $k\neq 1$ ?

— Huseyin
quelle

Dies scheint eine Hausaufgabe zu sein, bei der keine vorherigen Anstrengungen unternommen wurden, um sie zu lösen. Siehe: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

Es ist sicherlich ein thematisches Thema, aber eine Frage von geringer Qualität . Auch wenn es keine Hausaufgabe von Huseyin ist, erwarten wir von Ihnen, dass Sie a) vorsichtig mit Ihrer Notation umgehen (Sie haben und ) und b) einige Gedanken und Methoden einbringen, mit denen Sie versucht haben, das Problem zu lösen. Wir sind hier, um Menschen zu helfen, die sich selbst helfen , und bieten keine professionellen Dienstleistungen pro bono an.

ρ

$\rho$

p

$p$

— Alecos Papadopoulos

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— EnergyNumbers

Wenn Sie "Ich muss beweisen" sagen, ohne einen Hinweis darauf zu haben, warum Sie es beweisen müssen, gehen die Leute davon aus, dass dies Hausaufgaben sind.

— Steven Landsburg

@Huseyin Nachdem die Frage erneut geöffnet und eine Antwort bereitgestellt wurde, können Sie Ihre Antwort nicht für das Cobb-Douglas-Limit veröffentlichen.

— Alecos Papadopoulos

Antworten:

Die Beweise, die ich vorlegen werde, basieren auf Techniken, die für die Tatsache relevant sind, dass die CES-Produktionsfunktion die Form eines verallgemeinerten gewichteten Mittels hat .
Dies wurde in der Originalarbeit verwendet, in der die CES-Funktion eingeführt wurde, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS & Solow, RM (1961). Kapitalarbeitersubstitution und wirtschaftliche Effizienz. Die Überprüfung der Wirtschaft und Statistik, 225-250.
Die dortigen Autoren verwiesen ihre Leser auf das Buch Hardy, GH, Littlewood, JE & Pólya, G. (1952). Ungleichungen , Kapitel . $2$

Wir betrachten den allgemeinen Fall

Q_{k} = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) Grenze, wenn $\rho \rightarrow \infty$
Da wir an der Grenze, wenn interessiert sind, können wir das Intervall, für das , ignorieren und als streng positiv behandeln. $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

Ohne Verlust der Allgemeinheit sei . Wir haben auch . Dann überprüfen wir, dass die folgende Ungleichung gilt: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ {Q.}_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

durch Anheben auf die Potenz zu bekommen $\rho/k$

was angesichts der Annahmen in der Tat offensichtlich zutrifft. Kehren Sie dann zum ersten Element vonund zurück

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

welches den mittleren Term in bis , so $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

Für wir also die grundlegende Leontief-Produktionsfunktion. $k=1$

2) Grenze wenn $\rho \rightarrow 0$
Schreibe die Funktion mit Exponential als

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

Betrachten Sie die Maclaurin-Expansion erster Ordnung (Taylor-Expansion bei Null zentriert) des Terms innerhalb des Logarithmus in Bezug auf : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

Setzen Sie diesen zurück in und entfernen Sie das äußere Exponential, $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

Wenn es undurchsichtig ist, definieren Sie und schreiben Sie neu $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

Jetzt sieht es aus wie ein Ausdruck, dessen Grenze im Unendlichen etwas Exponentielles ergibt:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

$k$ $k=1$

$a$

— Alecos Papadopoulos
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The regular method of obtaining Cobb-Douglas and Leotief is L'Hôpital's rule.

Another methods should be used too. Setting $\gamma=1$ will be return $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$ and

Q^{- ρ} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$ By The total derivative via differentials we will have

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - a ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - a) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$ With some manupulations our main equation will be obtained.

d Q = a {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - a) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

Linear Function : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Cobb-Douglas Function :

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = a (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$ Taking the Integral from both side would produce

\int \frac{1}{Q} d Q = a \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{a} L^{(1 - a)} e^{C} = A K^{a} L^{(1 - a)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

Leontief Function: $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
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(+1) I like especially how the Cobb-Douglas function is obtained.

— Alecos Papadopoulos

Thanks @AlecosPapadopoulos. but I don't know why somebodies make dislike this post yet? I think this type of questions may provide brain storm at least to me.

— Huseyin

Genau genommen haben sie recht, Huseyin: Sie hätten zumindest einen Teil Ihrer Antwort in Ihre Frage einbeziehen sollen : "Hier ist meine Art, Dinge zu tun, gibt es eine andere Art?"

— Alecos Papadopoulos

Is taking a differential and integrating "equivalent" to taking a limit? In general, can we take differential and integrate to find a limit? Or is this a special application?

— PGupta