Topologische Konzepte in der Wirtschaftstheorie

FRAGE: Was sind die wichtigsten oder systematischen Anwendungen der Mathematik nach den 1960er Jahren auf die Mikroökonomie?

Zum Beispiel verwendete Fisher Ende des 19. Jahrhunderts zuerst die mathematischen Ideen von Gibbs, um die moderne Gebrauchstheorie zu konstruieren. Im 20. Jahrhundert integrierte Mas-Colell topologische Ideen, um das allgemeine Gleichgewicht zu untersuchen. Was ist mit dem späten 20., frühen 21. Jahrhundert?

Betrachten Sie beispielsweise die Theorie der gerichteten Graphen, die Maßtheorie, die Topologie, die Kategorietheorie und die moderne Homologie oder Kohomologie, die Topos-Methoden, die funktionale Integration usw.

Anmerkung 1 : Ökonometrie / Statistik ohne Modellierung ist ausgeschlossen. Die einzige moderne Mathematik, die dort verwendet wird, ist die Random-Walk-Theorie und das durch komplexe Analysen gelöste ergodische Problem. RW und EP sind nicht wirtschaftsspezifisch.

Jede geeignete wirtschaftswissenschaftliche Publikation ist eine Antwort. Dies schloss auch solche ein, die in nicht streng wirtschaftswissenschaftlichen Fachzeitschriften veröffentlicht wurden, z. B. im Journal of Mathematical Psychology .

Anmerkung 2 : Ja, ich weiß, diese Art von Arbeit ist seltener (nicht zu verwechseln mit Dunkelheit: ein Teil davon ist bekannt). Das ist es, was es leicht macht, eine solche Referenz zu übersehen, wenn sie veröffentlicht wird. Daher die Frage.

Ich bin der festen Überzeugung, dass ein aufstrebendes wichtiges Gebiet für Anwendungen der Maßtheorie die ungefähren dynamischen Programmiertechniken sein werden. Das ungefähre dynamische Programmieren (in der Informatikliteratur auch "Reinforcement Learning" genannt) war in den letzten ~ 10-20 Jahren die Richtung der Forschungsarbeit in der Literatur zum dynamischen Programmieren. Die Wirtschaft fängt erst jetzt an, einige dieser Fortschritte zu übernehmen. Ein Beispiel für die Richtung der DP-Literatur finden Sie in Bertsekas 'jüngster Erweiterung seiner Dynamic Programming-Reihe in der 4. Auflage oder in Powells Approximate DP: Solving the Curse of Dimensionality. Die Wirtschaftswissenschaftler fangen gerade erst an, einige dieser Instrumente direkt und indirekt aufzugreifen, und ich vermute, dass sie in den nächsten Jahren einen wachsenden Einfluss auf die Literatur haben werden. Einige der analytischen Grundlagen für die Konvergenz dieser Methoden sind Topologie und dynamische Systeme.

Ein gutes Beispiel für einen theoretischen Beitrag von Ökonomen zu dieser Art von Literatur sind Pál und Stachurski (2013), Iteration angepasster Wertfunktionen mit Wahrscheinlichkeits-1-Kontraktionen (ungated version here ). Lesen Sie diese Abhandlung durch und Sie können die Wichtigkeit eines guten Verständnisses der Maßtheorie erkennen. Stachurskis Buch Economic Dynamics ist eigentlich eine sehr schöne Darstellung des dynamischen Programmierens aus dieser Perspektive. Es arbeitet mit einem Tempo, das für mehrere Stufen von Doktoranden / Profis geeignet ist (Maßtheorie kommt formell zum Schluss, glaube ich - ich arbeite immer noch darauf hin) diese Einsichten).

Hoffentlich beantwortet dies Ihre Frage bis zu einem gewissen Grad. Ich befürchte, dass der Ausdruck "Mathematik nach den 1960er Jahren" für mich etwas mehrdeutig ist (aufgrund meines eigenen Mangels an Kenntnissen über die Geschichte der Mathematikliteratur).

Dies war zu lang für einen Kommentar. "Post 1960" scheint eine willkürliche und sehr hohe Messlatte für ein angewandtes Gebiet zu sein, einschließlich der Mikrotheorie. Die meisten der von Ihnen genannten Themen würden nicht als zeitgenössische Mathematik angesehen. Zum Beispiel begann die Maßtheorie mit der These von Lebesgue und ist über ein Jahrhundert alt. Die Topologie ist noch älter und begann mit Poincare, das Homologiegruppen einführte. Beide werden heute wie Kalkül unterrichtet. (Die von Mas-Colell et al. In GE verwendete Mathematik ist eher Analyse als Topologie.)

Die Externalität von Forschungsprogrammen, die die moderne Mathematik seit Mitte des 20. Jahrhunderts vorantreiben, ist bestenfalls indirekt. Der Standpunkt und die Techniken, die zum Beispiel durch nicht kommutative Geometrie, Langlands Programm, Poincare-Vermutung, Baum-Connes-Vermutung, Twin-Prime-Vermutung (Fields-Medaillen wurden nach 1960 für Fortschritte bei diesen Problemen verliehen) usw. motiviert sind. --- wird wahrscheinlich nie außerhalb der Mathematik zu sehen sein. Die Finanzmathematik bleibt natürlich die Mathematik, aber das ist aus wirtschaftlicher Sicht weit entfernt.

Bearbeiten Es stellt sich heraus, dass es unter direkter Beantwortung Ihrer Frage Anwendungen der Topologie auf die Theorie der sozialen Wahl gegeben hat, die von Chichilnisky et al. al. Hier ist ein JET-Artikel zum Thema von einem Topologen:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Vielleicht kann jemand mit Erfahrung in Topologie weiter kommentieren.

Loeb-Räume wurden verwendet, um Situationen mit einem Kontinuum von Agenten zu modellieren. Siehe http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf und die Kapitel von Sun über wirtschaftliche Anwendungen im Buch Nonstandard Analysis for the Working Mathematician .

Die Maßtheorie wird im Problem der fairen Teilung (auch als "Kuchenschneiden" bezeichnet) häufig verwendet. Siehe die vielen Artikel über Fairness in Wirtschaftszeitschriften .

Ein spezielles Beispiel finden Sie in Tatsuro Ichiishi und Adam Idzik, "Gerechte Verteilung teilbarer Güter", JME 1999 .

Neben der von Michael erwähnten Arbeit von Chichilnisky taucht in der Arbeit von Redekop über den Satz von Arrow über wirtschaftliche Bereiche eine weitere interessante Verwendung der Topologie in der Theorie der sozialen Wahl auf.

• Redekop, J. (1991). Sozialhilfe funktioniert auf beschränkten wirtschaftlichen Gebieten. Journal of Economic Theory, 53, 396–427.
• Redekop, J. (1993a). Pfeilinkonsistente Wirtschaftsbereiche. Social Choice andWelfare, 10, 107–126.
• Redekop, J. (1993b). Die Fragebogentopologie zu einigen Räumen wirtschaftlicher Präferenzen. Journal of Mathematical Economics, 22, 479–494.
• Redekop, J. (1993c). Sozialfürsorge funktioniert auf parametrischen Gebieten. Social Choice andWelfare, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). Pfeilsätze im wirtschaftlichen Umfeld. In WA Barnett, H. Moulin, M. Salles und NJ Schofield (Hrsg.), Soziale Wahl, Wohlfahrt und Ethik (S. 163–185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Pfeilsätze in gemischten, stochastischen und dynamischen wirtschaftlichen Umgebungen. Social Choice and Welfare, 13, 95–112.

Der Unmöglichkeitssatz von Arrow wurde ursprünglich für eine abstrakte Menge von Alternativen bewiesen, wobei jedes mögliche Präferenzprofil dieser Menge von Alternativen vorgezogen wurde. Die Frage, die sich Redekop (und andere) stellten, lautete: Gibt es ein Äquivalent zum Satz von Arrow, wenn es sich bei den Alternativen um Warenbündel handelt und der Agent "klassische" Präferenzen gegenüber diesen Waren hat (monoton, konvex, kontinuierlich, egoistisch, ...).

Genauer gesagt war die Frage, ob es eine soziale Wohlfahrtsfunktion geben würde, die die drei arrovianischen Axiome (Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen, schwaches Pareto und Nichtdiktatur) in diesen Wirtschaftsbereichen erfüllt (siehe Le Breton, Michel und John A. Weymark). " Kapitel 17 - Arrovianische Theorie sozialer Wahl auf wirtschaftlichen Gebieten. "Handbuch sozialer Wahl und Wohlfahrt 2 (2011): 191-299 für eine großartige Übersicht, auf der diese Antwort basiert).

Grob zeigt die Arbeit von Redekop, dass für einige dieser wirtschaftlichen Probleme, wenn ein Bereich von Präferenzen eine arrovianische soziale Wohlfahrtsfunktion zulässt, der Bereich in einem topologischen Sinne "klein" sein muss. Beispielsweise führt er in Redekop (1991) eine ausgeklügelte Topologie von Präferenzsätzen ein, die er als Fragebogentopologie bezeichnet , und zeigt, dass in einer Ökonomie des öffentlichen Güterverkehrs eine Domäne von Präferenzen eine arrovianische soziale Wohlfahrtsfunktion zulässt, die Domäne dann muss seine nirgends dicht gemäß dieser Topologie (dh die Schließung der Domäne enthält keine offene Menge).