Warum ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion so beliebt?

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Als relativ unerfahrener quantitativer Analyst / Kostenanalyst wurde ich gebeten, das Niveau der Produktivität eines bestimmten Unternehmens mehr als einmal zu schätzen und dann für die nächsten paar Perioden zu prognostizieren. Der Ort, an dem ich arbeite, ist ein relativ kleiner gemeinnütziger Verein (ungefähr 30 Personen), der sich der Verteilung von Spenden an Lebensmittelbanken und der freiwilligen Werbung widmet. Ich bin mir also nicht sicher, ob die Unternehmensgröße etwas damit zu tun hat.

Die meiste Zeit wurde ich nach bestimmten Einheiten und nicht nach prozentualen Änderungen oder Elastizitäten gefragt, daher bin ich gezwungen, eine von zwei Produktionsfunktionen vorzustellen.

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

Wenn ich jedoch Wirtschaftsliteratur lese, sehe ich, dass der Cobb Douglas (oder eine Variation davon wie der Steinwurm) ständig verwendet wird.

Ich weiß, dass es die Eigenschaft hat, mathematisch abnehmende Skalenerträge für einen einzelnen Produktionsfaktor anzuzeigen, aber ich habe Schwierigkeiten, es in meiner Arbeit zu sehen. Ist es eine Produktionsfunktion, die ausschließlich der Herstellung realer Waren vorbehalten ist?

mathematical-economics production-function

— EconJohn
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Ich denke, eine nette Eigenschaft der CD-Produktionsfunktion ist, dass ihre Parameter (die Exponenten an den Eingängen) den Anteil der Eingänge an der Ausgabe erfassen und somit leicht kalibriert werden können.

— Herr K.

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Der Grund, warum Cobb Douglas-Produktionsfunktionen so beliebt sind, liegt in der Tatsache begründet, dass die folgenden Annahmen erfüllt sind, während sie statistisch streng bleiben ¹ :

Erinnern Sie sich an das Cobb-Douglas-Produktionsfunktionsformular:

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

wobei (dh der Anteil der Produktion, der an das Kapital geht) $0<\alpha <1$

$1)$ Positive Grenzprodukte:

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ Verminderung der Grenzprodukte (wie Sie bereits erwähnt haben)

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ Konstante Skalenerträge (so funktionieren die meisten Produktionsprozesse)

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

für jedes (zB "Double input Double output") $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

Hoffe das hilft!!

_{¹ Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— FreakconFrank
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Wie Sie in Ihrer Frage andeuten, ist der eigentliche Grund (meiner Meinung nach) für die Popularität der CD-Produktionsfunktion die mathematische Bequemlichkeit. Die Tatsache, dass die Summe eine schöne, intuitive Darstellung von "Skalenerträgen" ist, ist sehr praktisch. $\alpha + \beta$

Ich halte seine Verwendung für ähnlich wie die Verwendung von Exponential- oder Energieversorgungsunternehmen in der mathematischen Finanzierung. Unrealistisch? Vielleicht, aber ach so freundlicher zu arbeiten.

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Okay, ich glaube, ich habe viele implizite Annahmen getroffen, weil ich durch Ihre Funktionen in der letzten Antwort verwirrt war, was meine Antwort selbst sehr verwirrend machte. Deshalb versuche ich diesmal etwas expliziter zu sein. Ich werde nur Ihre erste Funktion betrachten.

Wenn dies eine Produktionsfunktion ist, sind die Eingaben, und Sie haben nur eine Ausgabe. Jetzt hat Ihre Produktionsfunktion die folgenden Eigenschaften: und . Dies bedeutet, dass Ihre Eingaben völlig unabhängig voneinander sind. Sie können dieselbe Ausgabe nur mit oder nur mit . Dies macht keinen Sinn, wenn Ihre Inputs Kapital und Arbeit sind (zumindest nicht, bis wir die Produktion vollständig automatisiert haben, wo Sie nirgendwo im Produktionsprozess einen Menschen brauchen). Denn wenn einer von ihnen in der realen Welt 0 ist, würden Sie keine Ausgabe erhalten. $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

Diese Überlegung lässt mich glauben, dass Ihre Modell-Produktionsmethoden implizieren, dass sie bereits eine Mischung aus Kapital und Arbeit enthalten. In diesem Fall würden Sie einfach über diese verschiedenen Produktionsmethoden optimieren und die beste auswählen. Der mit dem höchsten Verhältnis von zu Kosten. Denn auf Unternehmensebene wären die Grenzkosten höchstwahrscheinlich konstant. $x_1$ $\beta_i$

Dies ist aus Unternehmenssicht ein vernünftiges Modell. Sie können nur zwischen diesen Produktionsmethoden wählen, sodass Sie die Tatsache, dass Sie Kapital und Arbeit zusammengefügt haben, nicht betrifft. Sie optimieren die Funktion und wählen bei Fixkosten die beste Produktionsmethode aus. Die (vermutete) Vereinfachung besteht darin, dass Sie nicht berücksichtigen, wie Erweiterung oder Produktion die Grenzkosten innerhalb einer Produktionsmethode verändern.

(Wenn die Expansion wirtschaftlich wäre, würden Sie den Lohn der Arbeitnehmer erhöhen, indem Sie mehr von ihnen beschäftigen, was irgendwann dazu führen würde, dass Sie sich für eine kapitalintensivere Produktionsmethode entscheiden.)

Ein Ökonom geht das aus einem anderen Blickwinkel an: Sie interessieren sich für das Verhältnis von Kapital zu Arbeit und nicht für die spezifische Produktionsmethode. Sie wollen eine Funktion, die Kapital und Arbeit als Input verwendet, die beste Produktionsmethode für diesen Input auswählt und einen Output zurückgibt. Sie gehen davon aus, dass es in dieser Größenordnung so viele verschiedene Produktionsmethoden gibt, dass man sie überstreichen und im Grunde genommen eine kontinuierliche Funktion in Kapital und Arbeit erhalten kann.

Sie möchten ein Modell mit der Eigenschaft die die Cobb-Douglas-Funktion bereitstellt. $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Sie vergleichen grundsätzlich die Partikelsimulation mit der Flüssigkeitssimulation. Die Gleichungen zur Modellierung eines einzelnen Wassermoleküls unterscheiden sich von der Modellierung eines Wasserstroms. Und es könnte so aussehen, als hätte einer nichts mit dem anderen zu tun.

Die andere Möglichkeit, an die ich gedacht habe, war, dass diese Funktion tatsächlich eine Kostenfunktion für die Erzeugung der Ausgaben ist aber dann haben Sie per Definition feste Grenzkosten von . Dies ist wiederum eine Annahme, die auf Mikroebene, aber nicht auf Makroebene sinnvoll ist. $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— Felix B.
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Es ist etwas seltsam, dass "Cobb-Douglas" in Ihrer Antwort nirgendwo vorkommt.

— Giskard

Cobb-Douglas ist eine Funktion zur Modellierung der aggregierten Produktion mit Arbeit und Kapital als Input und zur Modellierung der Auswirkung der Änderung des Anteils von Kapital / Arbeit auf die Produktion. (Änderung der Grenzproduktivität bei der Arbeit bei Änderung des Kapitals) Ich spreche darüber, wie diese Anteilsüberlegungen nach der Optimierung für die Produktion einer Einheit verworfen werden können, da die Grenzkosten für kleine Unternehmen als konstant angenähert werden können.

— Felix B.

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Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist nur deshalb so beliebt, weil sie eine der wenigen Funktionen ist, für die Sie explizit Funktionen für die Eingabe von Nachfrage (und Ausgabe) berechnen können. Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion wird normalerweise auf Bachelor-Ebene (Vorlesungen, Prüfungen und Übungen) verwendet, da wir das System der Bedingungen erster Ordnung lösen können. Diese funktionale Form ist jedoch sehr restriktiv und ihre Gültigkeit wird empirisch abgelehnt. Auf Master-Ebene wiederholen wir die mikroökonomische Theorie unter Verwendung uneingeschränkter Formen für die Produktionsfunktion (siehe z. B. das Lehrbuch von Mas Colell et al.) Und verwenden entweder den Satz der impliziten Funktion oder die Dualitätstheorie, um vergleichende statische Ergebnisse abzuleiten.

— Bertrand
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