Barros (2009) seltenes Katastrophenmodell in der VRE: Wie lässt sich Gleichung (10) ableiten?

In Barro (2009) Seltene Katastrophen, Vermögenspreise und Wohlfahrtskosten Barro entwickelt ein Lucas-Baummodell mit Epstein-Zin-Präferenzen.

Meine Frage betrifft die Gleichung (10) des Papiers. In dieser Gleichung gibt Barro an, dass unter dem optimalen Lösungsnutzen proportional zum Verbrauch ist, der auf die Potenz von ist , wobei der Koeffizient der relativen Risikoaversion ist, d. H.$U_t$$C_t$$1-\gamma$$\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Obwohl ich die Logik dieses Ergebnisses verstehe, verstehe ich nicht, wie er die Konstante herleitet , die in Fußnote 7 des genannten Papiers gezeigt wird:$\Phi$

Alberto Giovannini und Philippe Weil (1989, Anhang) zeigen, dass mit der Nutzenfunktion in Gleichung (9) der erreichte Nutzen proportional zum Wohlstand ist, der zur Potenz . Die Form in Gleichung (10) folgt, weil im iid-Fall optimal als konstantes Verhältnis zum Wohlstand gewählt wird. Die Formel für lautet, wenn ,$U_t$$1-\gamma$$C_t$$\Phi$$\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro zitiert das NBER-Papier von 1989 von Giovannini und Weil. In diesem Artikel kann ich die Konstante ableiten. Es sieht jedoch völlig anders aus als Barros Version, da ich am Ende einen Ausdruck habe, der , wobei die Eigenkapitalrendite ist. Ich glaube, Barro hat durch die Gleichgewichtslösung von . Sein Ausdruck enthält jedoch keine Protokolle oder Exp-Ausdrücke.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Ich wäre dankbar für eine Lösung oder Hinweise auf die Lösung.

Ich denke, Barro bedeutet in der Fußnote, dass Giovanni und Weil dieselbe Gleichung finden, , aber den optimalen Pfad von . In Barros Arbeit ist der Ansatz anders, da die Dynamik von exogen ist: nach Annahme.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Barro verwendet den Grenzfall, wenn sich die Länge eines Zeitraums 0 nähert. Möglicherweise stört der Leser, dass das Modell als diskret definiert ist.

Schreiben Sie das Modell neu

Zuerst können wir das Modell mit einer Länge von Periode umschreiben und dann . Die BIP-Dynamik schreibt mit und mit der Wahrscheinlichkeit und mit der Wahrscheinlichkeit . Das Dienstprogramm erfüllt $\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$$v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1) Finde als Funktion von$\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Angenommen, es gibt ein so dass (beachte, dass von a priori abhängt ). Definiere , das Dienstprogramm erfüllt Wir ersetzen : Wir erhalten also für , $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

2) Finden Sie aus der BIP-Dynamik$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Der Trick besteht darin, die Erwartung der BIP-Dynamik auf der rechten Seite zu finden. Unter Berücksichtigung der Erwartung und unter Verwendung der Unabhängigkeit zwischen und folgt Die Erwartung wobei folgt ist ,

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$ . ist eine Zufallsvariable gleich mit der Wahrscheinlichkeit und mit der Wahrscheinlichkeit . Wir ersetzen den Erwartungsoperator: Schließlich verwenden wir , um eine Gleichung für zu berechnen : $\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

3) Nehmen Sie die Näherung$\delta\to 0$

Der letzte Schritt besteht darin, eine Näherung erster Ordnung vorzunehmen (ich behalte missbräuchlich das gleiche Symbol): Wenn wir die Apprixmation erster Ordnung verfolgen (alle mit können vernachlässigt werden), haben wir Ersetzen Sie durch

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ , Wir nehmen und invertieren die Funktion , um die Lösung in der Fußnote 7 des Papiers zu finden. Die rechte Seite dieser Gleichung "vereinfacht" sich zu den inneren Klammern in der Formel. $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$