Perfekte Kombinationen in einem Schachbrett?

Betrachten Sie das Problem, die maximale Anzahl von Rittern zu finden, die auf ein Schachbrett gelegt werden können, ohne dass sich zwei angreifen. Die Antwort lautet 32: Es ist nicht allzu schwierig, eine perfekte Übereinstimmung zu finden (die durch Ritterbewegungen hervorgerufene Grafik ist zweigeteilt, und es gibt eine perfekte Übereinstimmung für ein 4 × 4-Brett), was offensichtlich eine minimale Kantenbedeckung ist. Es ist auch nicht schwer zu beweisen, dass die Antwort für ein Schachbrett ist, wann immer : Es genügt, Übereinstimmungen für und mach ein bisschen Induktionsfußarbeit.m×nm,n≥33≤m,n≤$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

Wenn das Schachbrett hingegen toroidal und gerade wäre, müsste für den Beweis nicht einmal eine Übereinstimmung für kleine Bretter angezeigt werden: Die Karte hat nur Zyklen mit gerader Länge, daher muss es eine perfekte Übereinstimmung geben.( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 $m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

Gibt es ein Äquivalent für rechteckige Schachbretter, dh gibt es eine einfachere Möglichkeit zu zeigen, dass für ausreichend große immer eine perfekte Übereinstimmung des Schachbretts vorliegt? Bei großen Platten sind die Rechteckplatte und die Toroidplatte in dem Sinne fast gleichwertig, dass der Bruchteil der fehlenden Kanten gegen Null geht, aber mir sind keine theoretischen Ergebnisse bekannt, die in diesem Fall eine perfekte Übereinstimmung garantieren würden.$m, n$

Was passiert, wenn ein Springer nicht in eine Richtung springt , sondern in eine der beiden Richtungen springt ? Oder eigentlich Quadrate mit ungerade und Koprime? Wenn es ist eine einfache Möglichkeit , zu beweisen , dass die Antwort für genügend große (sagen wir, m , n ≥ C ( p , q ) ), was sieht aus?( 2 , 3 ) ( p , q ) p + q p , $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$m,$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

Die Antwort lautet NOT für alle großenm,nwenn zBp=6undq=3. Warum? Beachten Sie, dass wegen der Reste$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ nun ist der Graph die (Scheitelpunkt-) disjunkte Vereinigung von drei zweigeteilten Graphen und aus jeder können wir die größere Hälfte auswählen. Wenn zum Beispiel m = n = 100 ist , können wir auf diese Weise (mindestens) 5002 Ritter platzieren. (Dies liegt daran, dass x + $\mod 3$$m=n=100$ hat sechs Klassen, die in drei Paaren sind, die Unterschiede zwischen den Kardinalitäten der Paare sind 1 , 1 , 2. )$x+y \mod 6$$1,1,2$

Ich weiß nicht, was passiert, wenn wir die Bedingung hinzufügen, dass und q relative Primzahlen sind. (Beachten Sie, dass dies abgesehen vom 2-Divisor gleichbedeutend ist mit p + q und p - q als relative Primzahlen. Tatsächlich ist dies die Bedingung, die wir benötigen und die auch zeigt, dass p + q ungerade ist.)$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$