Konvexer Körper mit minimal erwarteter l2-Norm

Man betrachte einen konvexen Körper , der im Ursprung zentriert und symmetrisch ist (dh wenn dann ). Ich möchte einen anderen konvexen Körper so dass und das folgende Maß minimiert werden: $K$ $x\in K$ $-x\in K$ $L$ $K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , wobei ein Punkt ist, der gleichmäßig zufällig aus L ausgewählt wird. $x$

Ich bin mit konstanter Faktorannäherung an das Maß in Ordnung.

Einige Anmerkungen - Die erste intuitive Vermutung, dass selbst die Antwort ist, ist falsch. Betrachten Sie beispielsweise als einen dünnen Zylinder mit sehr großen Abmessungen. Dann können wir so erhalten, dass indem wir mehr Volumen in der Nähe des Ursprungs haben lassen. $K$ $K$ $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ashwinkumar BV
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Für das Nichts ist es wert, das Problem sieht schwer aus. Auch in 3d ist nicht klar, wie man es löst.

— Sariel Har-Peled

Ist es offensichtlich, wie man es in 2d optimal macht? Natürlich ist in 2d eine konstante Faktorapproximation uninteressant.

— Ashwinkumar BV

Es ist mir nicht klar. Die Annäherung an konstante Faktoren ist in jeder Dimension offensichtlich, indem die Form durch ein Ellipsoid angenähert wird. Www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. Die Konstante würde von der Dimension abhängen.

— Sariel Har-Peled

Ich interessiere mich mehr für die Approximation konstanter Faktoren, bei der die Konstante nicht von der Dimension abhängt.

— Ashwinkumar BV

Natürlich. Aber lassen Sie es mich zurücknehmen - auch der Ellipsoidfall ist nicht offensichtlich. Wenn Sie dieses Problem angreifen möchten, ist dies die erste Version, die untersucht werden muss. Intuitiv müssen Sie entscheiden, welche Dimensionen ignoriert und welche erweitert werden sollen. Es scheint, dass die natürliche Lösung die konvexe Hülle der Vereinigung des Ellipsoids mit einem anderen Ellipsoid ist, wobei die Achsen des neuen Ellipsoids entweder einem Parameter r oder dem anderen Ellipsoid entsprechen.

— Sariel Har-Peled

Antworten:

Wenn wir und auf beide Ellipsoide beschränken, kann Ihr Problem mit einem SDP auf jede Genauigkeit gelöst werden. Ich weiß, das ist nicht das, wonach Sie ursprünglich gefragt haben, aber anscheinend haben wir auch für diesen eingeschränkten Fall keine Lösung, und vielleicht kann es im Allgemeinen helfen. $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ und . Daraus folgt, dass (und damit ) genau dann, wenn eine positive semidefinite Matrix ist. $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

So ist der SDP definiert ist durch : Bei einer symmetrischen PSD - Matrix , eine symmetrische Matrix finden PSD st PSD ist und minimiert wird. kann durch Auflösen des SDP gefunden werden, und dann gibt eine SVD die Achsen und Achsenlängen von . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Sasho Nikolov
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(Wie in den Kommentaren erwähnt, funktioniert der folgende Ansatz nicht. Das erhaltene Objekt ist nicht konvex. Es kennzeichnet jedoch ein "sternförmiges" Objekt mit minimalem zu erwartendem Abstand.)

Ich denke, das optimale Objekt wäre eine Vereinigung von und einer Kugel, die am Ursprung zentriert ist. Hier sind meine Gedanken. Nach Ihrer Definition von ist wobei der Abstand vom Ursprung zur Oberfläche von in einer bestimmten Richtung ist. Ich habe anstelle von = verwendet, weil ich einige Konstanten fallen gelassen habe. Nun wollen wir unter den gegebenen Bedingungen minimieren $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ entlang einer beliebigen Richtung. Beachten Sie, dass wenn entlang einer Richtung kleiner als , wir es etwas größer machen können, sagen wir, erhöhen Sie es um , um kleiner zu machen . Das liegt daran, dass wir den Enumerator um erhöhen , weniger als einen Faktor der Erhöhung des Nenners. Daher können wir uns vorstellen, allmählich zu "deformieren" (indem wir das Objekt wiederholt leicht vergrößern und aktualisieren ), um seinen -Wert zu verkleinern. Sei am Ende das konvexe Objekt. Dann irgendwann weiter

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ befindet sich im Abstand vom Ursprung, dh ist die Vereinigung von und einer Kugel mit dem Radius .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

Man betrachte in der Tat ein anderes konvexes Objekt so dass . Dann , da wir sonst den Teil von innerhalb von vergrößern können , um kleiner zu machen. Andererseits , weil wir ansonsten nach der gleichen Idee den Teil von außerhalb von verkleinern können , um kleiner zu machen. Es gibt also eine einzigartige optimale Lösung. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— user7852
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Vielleicht fehlt mir etwas, aber warum ist das so erzeugte Objekt konvex?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Du hast recht. Wie habe ich das vermisst ...

— user7852

Wie wäre es mit der folgenden Idee: Es ist bekannt, dass ein konvexes Objekt durch ein Ellipsoid approximiert werden kann, dh es gibt ein Ellipsoid so dass . Dann approximiert mit einem ungefähren Verhältnis . Für jedes das , ist . Wenn wir also die optimale Ellipsoid finden enthalten , dann . Ich weiß nicht, wie ich berechnen soll . Aber ich würde vermuten, dass seine Achsen mit den Achsen von und allen Eigenwerten von

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ unter einem bestimmten Schwellenwert werden auf diesen Schwellenwert angehoben.

— user7852

Ich stimme zu, dass wenn L nicht auf einen konvexen Körper beschränkt ist, es eine Vereinigung von K und einer Kugel ist.

— Ashwinkumar BV

Die Idee, Ellipsoid zu verwenden, gibt Ihnen keinen konstanten Faktor. Es kann bestenfalls eine Annäherung geben. Meine Vermutung ist, dass die konvexe Hülle von mit einer Kugel mit geeignetem Radius eine konstante Faktorapproximation ist. Ich bin nicht sicher, wie ich die Vermutung beweisen oder widerlegen soll.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV

Die folgende Lösung basiert auf dieser Annahme / Vermutung [zu beweisen]:

Vermutung : Die Erwartung einer konvexen Funktion auf ist kleiner als die größere zwischen der Erwartung auf und der Erwartung auf . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Wir brauchen das Obige nur für konvex, aber es könnte allgemein wahr sein] $K,K'$

Nehmen Sie nun eine beliebige Menge und wenden Sie eine Drehung an, die auf den Ursprung zentriert ist, um . Sie werden , weil die Drehung die Länge der Elemente von unveränderlich lässt. Wenn ich mit der Vermutung recht habe, . Da für jede optimale Sie in Erwägung ziehen könnte , wo die Vereinigung über alle Umdrehungen anzeigt, und haben , es scheint, dass das optimale kann, um die kleinste Kugel zu sein, die $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ .

— Marco
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Es würde ausreichen, um zu beweisen, dass für die Erwartung einer konvexen Funktion. Das scheint einfach zu sein.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Marco

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Antwort bekomme. Es ist jedoch definitiv nicht wahr, dass L als kleinste Kugel mit K gewählt werden kann. Betrachten Sie einen langen, dünnen Zylinder mit Dimensionen der Länge . Dann sollte jede Kugel die enthält , . Wenn Sie jedoch konstruieren, wobei U eine Kugel oder ein Radius von ungefähr Sie ungefähr . (wobei Konstanten sind)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV