Zumindest kein "nettes" Gerät für eine Frequenzweiche.
Sei und ein Kreuz, das wir ersetzen wollen.(a,b)(x,y)
Es gibt viele Fälle für unser Diagramm, , aber wir müssen mindestens die folgenden vier erfüllen. Fall 1: Es gibt mindestens einen Hamilton-Zyklus, aber keiner verwendet eine der Kanten. Fall 2: Es gibt mindestens einen Zyklus, und alle Zyklen verwenden genau eine der beiden Flanken. Fall 3: Es gibt mindestens einen Zyklus, und alle Zyklen verwenden beide Flanken. Fall 4: Es gibt keinen Hamilton-Zyklus.G
Wenn unser Gadget zwei (oder mehr) Eckpunkte für jeden der , um alle benachbarten die gleichen Nachbarn (so dass und behalten ‚s Nachbarn) dann nicht notwendigerweise noch eben sein. Um den ersten unserer obigen Fälle zu erfüllen, können wir dann keine neuen Eckpunkte im Gadget haben. a,b,x,ya0a1aG′
Um den obigen Fall 3 zu erfüllen, müssen mindestens zwei Kanten im Gadget vorhanden sein. Weder das planare und das abdeckende Paar noch erfüllen den Fall 2, daher brauchen wir eine dritte Kante. Ohne Verlust der Allgemeinheit seien diese drei .(a,x),(y,b)(a,y),(x,b)(a,y),(y,b),(x,b)
Diese Ersetzung unterbricht jedoch den vierten Fall, da einen Hamilton-Zyklus enthalten könnte, wenn dies nicht tut. Nehmen wir zum Beispiel wobei und
. ist nicht planar und hat keinen Hamilton-Zyklus.G′GG=(V,E)V={a,b,x,y,p,q,r,s,t},E={(a,b),(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(b,x),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)}G
Dann ist wobei . ist planar und hat einen Hamilton-Zyklus ( ).G′=(V,E′)E′={(a,y),(y,b),(x,b)}∪
{(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)}G′a,q,x,t,p,s,b,y,r,a
Es ist zu beachten, dass, wenn die Kante nicht anstelle von hinzugefügt worden wäre , keinen Hamilton-Zyklus haben würde. Es scheint jedoch, dass Sie den möglichen Zyklus kennen müssen, um die Kante richtig zu wählen.( a , x ) G '(b,y)(a,x)G′
Ein ähnliches Problem besteht darin, dass das Gadget eine der diagonalen Kanten enthält, wie z. : .(a,b),(a,y),(x,b)
Da das Hinzufügen von drei Kanten Fall 4 unterbricht, hilft das Hinzufügen von mehr nicht.
Somit existiert kein "nettes" Gadget. Es könnte sein, dass es ein Gerät gibt, das den Nachbarn von und mehr Aufmerksamkeit schenkt , aber das scheint nicht sehr "nett" zu sein.ya,b,xy
(Hinweis: Bitte lassen Sie mich wissen, wenn ich Fehler gemacht habe!)
( Anmerkung 2: Ich hatte einige nette Figuren, kann sie aber nicht posten. Gepostet.)