Komplexität des Ehe-Matching-Problems?

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Angenommen, Sie haben Männer und Frauen. Jede Person hat Attribute. Jede Person gibt eine Reihe von Attributen an, die ein möglicher Kandidat haben sollte. Ein Matching ist eine Menge von Paaren. Jedes Paar bindet einen Mann an eine Frau. Die Zufriedenheit eines Matchings ist die Anzahl der Attribute, die für die am wenigsten glückliche Person erfüllt sind. $n$ $n$ $m$

Ist es effizient lösbar, ein Matching mit maximaler Zufriedenheit zu finden, oder ist es -hart? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness matching

— Mohammad Al-Turkistany
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Ist die durchschnittliche Anzahl der erfüllten Attribute ein besseres Maß für die Zufriedenheit als die Anzahl der erfüllten Attribute für die am wenigsten glückliche Person?

— Dónal

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Beginnen wir mit der Entscheidungsversion des Problems: Gibt es bei einem "Zufriedenheitsgrad" k eine Übereinstimmung, bei der jeder einer Person mit mindestens k gewünschten Attributen zugeordnet wird. Dies löst nur die zweiteilige Übereinstimmung in einem Diagramm, in dem wir einen Mann und eine Frau verbinden, wenn jeder die Zufriedenheit k vom anderen erhält. (Die Laufzeit scheint O (mn ^ 2) zu sein.) Um das ursprüngliche Problem zu erhalten, führen Sie einfach eine binäre Suche über k durch (für einen zusätzlichen log (m) -Faktor in der Laufzeit.)

— Noam
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Scheint die gleiche Lösung zu sein wie in Tsuyoshi Itos Kommentar zu Tomer Vromens Antwort?

— Jukka Suomela

Verallgemeinert sich Ihr Algorithmus auf den Fall, dass jede Person einen Satz wünschenswerter Attribute und einen Satz unerwünschter Attribute angibt?

— Mohammad Al-Turkistany

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Ich habe die Frage möglicherweise falsch verstanden, weil meine Antwort mit der von Serge in Konflikt steht. Nach meinem Verständnis fragen Sie nach dem Problem der linearen Engpasszuweisung. Es ist bekannt, dass dies in O (n ^ 2.5) gelöst wird.

Die vollständigste Informationsquelle ist [1], obwohl mir der Stil des Buches wirklich nicht gefällt. Es gibt auch eine Website: http://www.assignmentproblems.com/linearBNAP.htm

EDIT: Zur Verdeutlichung wollen wir eine Zuordnung so, dass die Kante mit maximalen Kosten minimiert wird. Die Kosten sind die maximale Anzahl nicht zugewiesener Attribute für den Mann oder die Frau, die übereinstimmen.

EDIT2: Ich kann nur Referenzen aus dem von mir zitierten Buch anbieten. Drei davon sind:

G. Carpaneto und P. Toth Algorithmus zur Lösung des Engpasszuweisungsproblems. Computing , 27: 179 & ndash; 187 m 1981
U. Derigs. Alternative Strategien zur Lösung von Engpasszuweisungsproblemen - Analyse und Berechnungsergebnisse. Computing , 33: 95 & ndash; 106, 1984
U. Derigs und U. Zimmermann. Eine Methode zur Erweiterung des Pfades zur Lösung von Problemen bei der Zuweisung linearer Engpässe. Computing , 19: 285 & ndash; 295, 1978

Sie sollten versuchen, an das Buch zu gelangen, da einige der verfügbaren Algorithmen aufgelistet sind.

[1] Zuordnungsprobleme von Rainer Burkard, Mauro Dell'Amico und Silvano Martello

— Tomer Vromen
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Ich denke das funktioniert. Können Sie eine Referenz für den O (n ^ 2.5) -Zeitalgorithmus angeben?

— Serge Gaspers

@ Serge, ich habe meine Antwort bearbeitet, um Referenzen aufzunehmen

— Tomer Vromen

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Übrigens, wenn wir mit einem langsameren Algorithmus zufrieden sind, ist es einfach, das „Problem der linearen Engpasszuweisung“ (ich kannte den Namen nicht, warum „linear“?) In Polynomzeit durch binäre Suche und Lösen des Perfekten zu lösen Übereinstimmungsproblem in jeder Iteration.

— Tsuyoshi Ito

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Wie Tsuyoshi in einem Kommentar weiter unten ausführt, gibt es keinen Grund, warum eine Lösung des Problems eine stabile Übereinstimmung sein muss. Der Ansatz dieser Antwort funktioniert also wahrscheinlich nicht. zumal ich glaube, dass Tomers Antwort richtig ist.

Es scheint, dass Ihre Version des Eheproblems dem Problem der stabilen Ehe mit Krawatten entspricht, bei dem jeder die Mitglieder des anderen Geschlechts mit möglichen Bindungen einstuft und das Ziel darin besteht, das minimale "Glück" zu maximieren.

$N^{1-\epsilon}$ $\epsilon > 0$ $N$

[1]: David Manlove, Robert W. Irving, Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki, Yasufumi Morita: Harte Varianten einer stabilen Ehe. Theor. Comput. Sci. 276 (1-2): 261 & ndash; 279 (2002). Postprint .

— Serge Gaspers
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1

S

$S$

| S \cap A_{i} |

$|S \cap A_i|$

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

1

Ich kann nicht verstehen, warum eine Lösung in der gestellten Frage eine stabile Übereinstimmung sein muss, obwohl ich die gestellte Frage nicht vollständig verstanden habe.

— Tsuyoshi Ito

0

Ist dies nicht nur eine Variation des maximalen zweiteiligen Matchings bei minimalen Kosten? Das Gewicht für jede Kante entspricht der Anzahl der erfüllten Attribute. Anstatt die maximale Übereinstimmung zu finden, die Ihnen die kleinste Gewichtssumme ergibt, möchten Sie diejenige, für die das minimale Kantengewicht maximiert wird.

Wenn dieses Verständnis richtig ist, würde ich denken, dass ein Augmenting-Path-Algorithmus ähnlich wie Busacker-Gowen [ 1 ] funktionieren würde. Anstatt immer den billigsten Erweiterungspfad zu finden (in Bezug auf die Gewichtssumme), würden Sie den besten finden (Maximierung der minimalen Kante). Dies sollte wiederum mit einer geringfügigen Änderung eines Standardalgorithmus für kürzeste Wege möglich sein (z. B. Dijkstra, der in der Version von Busacker-Gowen unter Verwendung der Gewichtsanpassung von Edmonds und Karp verwendet wird).

$O(v|E|\lg |V|)$ $O(vn^2\lg n)$

— Magnus Lie Hetland
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