Das "Permutationsspiel" ist isomorph zu dem folgenden Spiel:
Trennen. Spieler abwechselnd Ecken aus einem Diagramm entfernen . Der Spieler, der eine vollständig getrennte Grafik erstellt (dh eine Grafik ohne Kanten), ist der Gewinner.G
Der Graph , der einer bestimmten Anfangspermutation π ∈ S n entspricht, enthält nur die Kanten ( i , j ), für die i - j und π ( i ) - π ( j ) entgegengesetzte Vorzeichen haben. Das heißt, jedes Zahlenpaar ist falschGππ∈ Sn( i , j )i - jπ( i ) - π( j )Ordnung in der Permutation ist mit einer Kante verbunden. Die erlaubten Züge sind eindeutig isomorph zu denen im Permutationsspiel (eine Zahl entfernen = einen Knoten entfernen), und die Gewinnbedingungen sind ebenfalls isomorph (keine Paare in absteigender Reihenfolge = keine Kanten übrig).
Eine komplementäre Ansicht wird erhalten, indem in Betracht gezogen wird, ein "duales" Spiel auf dem Graphenkomplement , das die Kanten ( i , j ) enthält, für die i und j in der Permutation in der richtigen Reihenfolge sind. Das duale Spiel zum Trennen ist:Gcπ= GR ( π)( i , j )ichj
Erneut verbinden. Spieler abwechselnd Ecken aus einem Diagramm entfernen . Der Spieler, der eine vollständige Grafik erstellt, ist der Gewinner.G
Abhängig von der jeweiligen Permutation scheint eines dieser Spiele einfacher zu analysieren als das andere. Der Vorteil der Graphendarstellung ist, dass klar ist, dass nicht verbundene Komponenten des Graphen separate Spiele sind, und daher auf eine gewisse Reduzierung der Komplexität gehofft wird. Es macht auch die Symmetrien der Position deutlicher. Leider sind die Gewinnbedingungen nicht standardgemäß ... das Permutationsspiel endet immer, bevor alle Züge aufgebraucht sind, was ihm einen etwas miserablen Charakter verleiht . Insbesondere kann der Nim-Wert nicht als die Nim-Summe (binäres XOR) der Nim-Werte der getrennten Komponenten berechnet werden.
Für Disconnect ist es nicht schwer zu erkennen, dass für jeden Graphen und jedes gerade n das Spiel G ∪ ˉ K n gleich G ist (wobei ˉ K n der kantenlose Graph auf n Ecken ist). Um das zu beweisen, müssen wir zeigen , dass die disjunktive Summe G + G ∪ ˉ K n ist ein zweiter Spieler zu gewinnen. Der Beweis erfolgt durch Induktion am | G | + n . Wenn GGnG ∪ K¯nGK¯nnG + G ∪ K¯n| G | +nGist kantenlos, dann verliert der erste Spieler sofort (beide Spiele sind vorbei). Andernfalls kann der erste Spieler in beide bewegt , und der zweite Spieler seinen Zug in den andere kopieren kann (Reduzierung auf G ' + G ' ∪ ¯ K n mit | G ' | = | G | - 1 ); oder, wenn n ≥ 2 ist, kann sich der erste Spieler in der getrennten Figur bewegen und der zweite Spieler kann dasselbe tun (reduziert auf G + G ∪ ˉ K n - 2 ).GG′+G′∪Kn¯|G′|=|G|−1n≥2G+G∪K¯n−2
Dies zeigt, dass jeder Graph äquivalent zu H ∪ K p ist , wobei H der Teil von G ohne getrennte Eckpunkte ist und p = 0 oder 1 die Parität der Anzahl von getrennten Eckpunkten in G ist . Alle Spiele in einer Äquivalenzklasse haben den gleichen Nim-Wert, und außerdem respektiert die Äquivalenzrelation die Vereinigungsoperation: Wenn G ∼ H ∪ K p und G ' ∼ H ' ∪ K p ', dann GGH∪KpHGp=01GG∼H∪KpG′∼H′∪Kp′ . Außerdem kann man sehen, dass die Spiele in [ H ∪ K 0 ] und [ H ∪ K 1 ] unterschiedliche Nim-Werte haben, es sei denn, H ist der Null-Graph: Wenn H + H ∪ K 1 gespielt wird , kann der erste Spieler das Isolierte nehmen Scheitelpunkt, lassen Sie H + H und kopieren Sie anschließend die Züge des zweiten Spielers.G∪G′∼(H∪H′)∪Kp⊕p′[H∪K0][H∪K1]HH+H∪K1H+H
Ich kenne keine verwandten Zersetzungsergebnisse für Reconnect.
Zwei spezielle Arten von Permutationen entsprechen besonders einfachen Heap-Spielen.
- Das erste ist eine aufsteigende Folge von Abfahrten , z . B. . Wenn π diese Form annimmt, ist der Graph G π eine Vereinigung von disjunkten Cliquen, und das Spiel Disconnect reduziert sich auf ein Spiel auf Haufen: Die Spieler entfernen abwechselnd eine einzelne Bohne von einem Haufen, bis alle Haufen die Größe 1 haben .32165487πGπ1
- Die zweite ist eine absteigende Aufstiegsstrecke , z . B. . Wenn π diese Form annimmt, ist der Graph G c π eine Vereinigung von disjunkten Cliquen, und das Spiel von Reconnect reduziert sich auf ein Spiel auf Haufen: Spieler entfernen abwechselnd eine einzelne Bohne von einem Haufen, bis nur noch ein Haufen übrig ist .78456123πGcπ
Ein kleiner Gedanke zeigt, dass diese beiden unterschiedlichen Spiele auf Haufen (wir können sie 1-Haufen und Ein-Haufen nennen , bei denen die Gefahr einer Verwechslung besteht) tatsächlich selbst isomorph sind. Beides kann durch ein Spiel in einem Young-Diagramm (wie ursprünglich von @domotorp vorgeschlagen) dargestellt werden, bei dem die Spieler abwechselnd ein Feld rechts unten entfernen, bis nur noch eine Zeile übrig ist. Dies ist offensichtlich dasselbe Spiel wie 1-Heaps, wenn Spalten Heaps entsprechen, und dasselbe Spiel wie One-Heap, wenn Zeilen Heaps entsprechen.
Ein Schlüsselelement dieses Spiels, das sich auf Trennen und erneutes Verbinden erstreckt, ist, dass die Dauer auf einfache Weise mit dem endgültigen Spielstatus zusammenhängt. Wenn Sie an der Reihe sind, gewinnen Sie, wenn im Spiel noch eine ungerade Anzahl von Zügen übrig ist, einschließlich der, die Sie gerade ausführen werden. Da bei jedem Zug ein einzelnes Feld entfernt wird, bedeutet dies, dass die Anzahl der am Ende des Spiels verbleibenden Felder die entgegengesetzte Parität wie jetzt haben soll. Darüber hinaus hat die Anzahl der Quadrate in allen Zügen die gleiche Parität. Sie wissen also von Anfang an, welche Parität die endgültige Zählung haben soll. Wir können die beiden Spieler Eve und Otto nennen, je nachdem, ob die Endzählung gerade oder ungerade sein muss, um zu gewinnen. Eva bewegt sich immer in Zuständen mit ungerader Parität und erzeugt Zustände mit gerader Parität, und Otto ist das Gegenteil.
In seiner Antwort gibt @PeterShor eine vollständige Analyse von One-Heap. Ohne den Beweis zu wiederholen, ist das Ergebnis das Folgende:
- Otto mag Haufen und 2- Haufen und kann einen einzigen größeren Haufen aushalten. Er gewinnt, wenn er alle Heap-Größen bis auf eine ≤ 2 erreichen kann , zumindest ohne Eva sofort den Sieg der Form zu geben ( 1 , n ) . Eine optimale Strategie für Otto ist es, immer vom zweitgrößten Haufen zu nehmen, außer wenn der Zustand ( 1 , 1 , n > 1 ) ist , wann er vom n nehmen sollte . Otto verliert, wenn zu Beginn zu viele Bohnen in großen Haufen sind.12≤2(1,n)(1,1,n>1)n
- 1≥2121
Wie bereits erwähnt, ergibt dies optimale Strategien für 1-Heaps, obwohl sie etwas umständlicher auszudrücken sind (und ich möglicherweise einen Fehler bei der Primär-zu-Dual- "Übersetzung" mache). Im Spiel von 1-Heaps:
- 11(1,1,…,1,2)
- Eva mag keine Lücke zwischen den größten und zweitgrößten Haufen. Sie gewinnt, wenn sie die beiden größten Haufen gleich groß machen kann. Eine optimale Strategie für Eve ist es, immer vom größten Haufen zu nehmen, wenn er einzigartig ist, und niemals, wenn genau zwei der größten Größe vorhanden sind.
Wie @PeterShor feststellt, ist nicht klar, wie (oder ob) diese Analysen auf die allgemeineren Spiele Disconnect und Reconnect ausgeweitet werden könnten.