Superpolynomialer Zeitnäherungsalgorithmus für MAX 3SAT

Das PCP - Theorem besagt , dass es kein Polynomialzeitalgorithmus für MAX 3SAT eine Zuordnung zu finden befriedigend Klauseln einer erfüllbar 3SAT Formel , es sei denn P = N P .$7/8+ \epsilon$$P = NP$

Es ist ein trivialer Polynomialzeitalgorithmus dass erfüllen der Klauseln. So können wir es besser machen als 7 / 8 + ε , wenn wir zulassen , dass Super-Polynom - Algorithmen? Welche Näherungsverhältnisse können wir mit quasi-polynomialen Zeitalgorithmen ( n O ( log n ) ) oder mit subexponentiellen Zeitalgorithmen ( 2 o ( n ) ) erreichen? Ich suche Verweise auf solche Algorithmen.$7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Man kann eine bekommen Näherung für MAX3SAT , die ausgeführt wird in 2 O ( ε n ) Zeit , ohne zu viel Mühe. Hier ist die Idee. Teilen Sie den Variablensatz in O ( 1 / ε ) Gruppen von je ε n Variablen. Probieren Sie für jede Gruppe alle 2 ε n Möglichkeiten aus, um die Variablen in der Gruppe zuzuweisen. Führen Sie für jede reduzierte Formel die Karloff- und Zwick- 7 / 8- Annäherung durch. Geben Sie die Zuordnung aus, die eine maximale Anzahl von Klauseln aus all diesen Versuchen erfüllt.$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

Der Punkt ist, dass es einen variablen Block gibt, so dass die (auf diesen Block beschränkte) optimale Zuweisung bereits einen Bruchteil der maximalen Anzahl erfüllter Klauseln erfüllt. Sie werden diese zusätzlichen Klauseln genau richtig bekommen, und Sie erhalten 7 / 8 der verbleibenden Bruchteil der optimalen Verwendung von Karloff und Zwick.$\varepsilon$$7/8$

Es ist eine interessante Frage, ob man für die gleiche Art der Approximation -Zeit erhalten kann. Es gibt eine "lineare PCP-Vermutung", dass 3SAT in der Polynomzeit auf MAX3SAT reduziert werden kann, so dass:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• Wenn die 3SAT-Instanz erfüllt werden kann, ist die MAX3SAT-Instanz vollständig erfüllt.
• Wenn die 3SAT-Instanz nicht zufriedenstellend ist, ist die MAX3SAT-Instanz nicht erfüllbar, und$7/8+\varepsilon$
• die Reduktion erhöht , indem nur eine der Formel Größe Faktor.$poly(1/\varepsilon)$

$2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Um etwas zu wiederholen, was Ryan Williams in seinem letzten Absatz geschrieben hat:

Das Moshkovitz-Raz-Theorem zeigt, dass es eine Funktion gibt $T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$ so dass, wenn Max-3Sat sein kann $(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$-pünktlich angenähert $T(n)$ dann ist die Entscheidungsversion von 3Sat pünktlich $2^{o(n)}$. Es wird allgemein angenommen, dass Letzteres unmöglich ist (dies ist die Exponentialzeithypothese), in welchem ​​Fall auch Ersteres unmöglich ist. Um es nicht ganz genau auszudrücken, kann man nicht schlagen$7/8$ für Max-3Sat in etwas besserem als der vollen Exponentialzeit.