Was würde es bedeuten, die These von Church-Turing zu widerlegen?

Entschuldigung für den eingängigen Titel. Ich möchte verstehen, was man tun muss, um die These von Church-Turing zu widerlegen. Irgendwo, wo ich lese, ist es mathematisch unmöglich, das zu tun! Warum?

Turing, Rosser usw. verwendeten unterschiedliche Begriffe, um zu unterscheiden zwischen: "was kann berechnet werden" und "was kann von einer Turing-Maschine berechnet werden".

Die diesbezügliche Definition von Turing aus dem Jahr 1939 lautet: "Wir werden den Ausdruck" berechenbare Funktion "verwenden, um eine von einer Maschine berechenbare Funktion zu bezeichnen, und wir lassen" effektiv berechenbar "auf die intuitive Idee verweisen, ohne sich mit einer dieser Definitionen zu identifizieren."

Die Church-Turing-These kann also wie folgt formuliert werden: Jede effektiv berechenbare Funktion ist eine berechenbare Funktion.

Wie wird der Beweis aussehen, wenn man diese Vermutung widerlegt?

Die Church-Turing-These wurde für alle praktischen Zwecke bewiesen.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz und Gurevich, Bulletin of Symbolic Logic, 2008.

(Diese Literaturstelle diskutiert die Geschichte der Arbeit von Kirche und Turing und spricht sich für eine Trennung zwischen "Church's Thesis" und "Turing's Thesis" als eindeutige logische Behauptungen aus. Dann beweisen sie beide innerhalb einer intuitiven Axiomatisierung der Berechenbarkeit.)

Es gibt einen subtilen Punkt, den ich selten in solchen Diskussionen erwähne und der meiner Meinung nach mehr Aufmerksamkeit verdient.

Angenommen, wie Andrej vorschlägt, jemand baut ein Gerät, das zuverlässig eine Funktion berechnet, die von keiner Turing-Maschine berechnet werden kann. Woher wissen wir, dass die Maschine tatsächlich f berechnet ?$f$$f$

Offensichtlich würde keine endliche Anzahl von Eingabe- / Ausgabewerten ausreichen, um zu demonstrieren, dass die Maschine berechnet, im Gegensatz zu irgendeiner anderen Turing-berechenbaren Funktion, die mit f in dieser endlichen Menge übereinstimmt . Deshalb , dass unsere Überzeugung , die Maschine Berechnung f würde auf unseren zu basieren physikalischen Theorien , wie die Maschine arbeitet. Wenn Sie sich einige der konkreten Vorschläge für Hypercomputer ansehen, werden Sie feststellen, dass sie mit Sicherheit eine hochmoderne physikalische Theorie anwenden und diese Theorie auf unendlich hochrechnen$f$$f$$f$. Okay, gut, aber jetzt nehmen wir an, wir bauen den Hypercomputer und fragen ihn, ob eine Turing-Maschine, die nach einem Widerspruch in ZFC sucht, jemals anhalten wird. Angenommen, der Hypercomputer antwortet mit "Nein". Was schließen wir? Schliessen wir, dass der Hypercomputer die Konsistenz von ZFC "berechnet" hat? Wie können wir die Möglichkeit ausschließen, dass ZFC tatsächlich inkonsistent ist und wir gerade ein Experiment durchgeführt haben, das unsere physikalische Theorie verfälscht hat?

Ein entscheidendes Merkmal von Turings Definition ist, dass seine philosophischen Annahmen sehr schwach sind. Es setzt natürlich bestimmte einfache Merkmale unserer alltäglichen Erfahrung voraus, wie die grundlegende Stabilität der physischen Welt und die Fähigkeit, endliche Operationen auf zuverlässige, wiederholbare und überprüfbare Weise auszuführen . Diese Dinge akzeptiert jeder (also außerhalb eines Philosophie-Klassenzimmers!). Die Akzeptanz eines Hypercomputers scheint jedoch eine unendliche Extrapolation zu erforderneiner physikalischen Theorie, und all unsere Erfahrungen mit der Physik haben uns gelehrt, nicht dogmatisch über die Gültigkeit einer Theorie in einem Regime zu sein, das weit über das hinausgeht, was wir experimentell verifizieren können. Aus diesem Grund erscheint es mir sehr unwahrscheinlich, dass sich jemals ein überwältigender Konsens darüber entwickeln wird, dass ein bestimmter Hypercomputer einfach nur rechnet und nicht hypercomputert , dh nur dann etwas tut, was man als "rechnen" bezeichnen kann, wenn man ein umstrittenes philosophisches oder philosophisches Konzept akzeptiert physikalische Annahmen über unendliche Extrapolationen.

Anders ausgedrückt: Um die These von Church-Turing zu widerlegen, müsste nicht nur das von Andrej beschriebene Gerät gebaut werden, sondern es muss auch zu jedermanns Zufriedenheit bewiesen werden, dass das Gerät die beworbene Leistung erbringt. Obwohl nicht unvorstellbar, ist dies eine große Herausforderung. Für heutige Computer bedeutet die Endlichkeit der Berechnung, dass ich, wenn ich das Ergebnis der "Berechnung" eines bestimmten Computers nicht glaube, im Prinzip eine endliche Folge von Schritten auf eine völlig andere Weise ausführen kann, um das Ergebnis zu überprüfen. Diese Art des "Rückgriffs" auf gesunden Menschenverstand und endliche Verifikation ist nicht verfügbar, wenn wir Zweifel an einem Hypercomputer haben.

Obwohl es aufgrund des informellen Charakters der "effektiv berechenbaren Funktion" ziemlich schwierig erscheint, die These von Church-Turing zu beweisen, können wir uns vorstellen, was es bedeuten würde, sie zu widerlegen. Wenn nämlich jemand ein Gerät baut, das (zuverlässig) eine Funktion berechnet, die von keiner Turing-Maschine berechnet werden kann, würde dies die Church-Turing-These widerlegen, da es das Vorhandensein einer effektiv berechenbaren Funktion feststellt, die von einer Turing-Maschine nicht berechnet werden kann.

Das Widerlegen der These von Church-Turing erscheint in der Tat äußerst unwahrscheinlich und konzeptionell sehr schwer vorstellbar. Es gibt verschiedene "hypothetische physikalische Welten", die im Spannungsfeld zur kirchentürkischen These stehen (aber ob sie sich widersprechen, ist für sich genommen eine interessante philosophische Frage). Ein Aufsatz von Pitowsky " The Physical Church's Thesis and Physical Computational Complexity", Iyun 39, 81-99 (1990), befasst sich mit solchen hypothetischen physikalischen Welten. Siehe auch das Papier von Itamar Pitowsky und Oron Shagrir: " The Church-Turing Thesis and Hyper Computation ", Minds and Machines 13, 87-101 (2003). Oron Shagrir hat mehrere philosophische Artikel über die These von Church-Turing geschrieben ( siehe seine Webseite) . (Siehe auch diesen Blogbeitrag .)

Die effektive oder effiziente Church-Turing-These ist eine unendlich stärkere Behauptung als die ursprüngliche Church-Turing-Behauptung, die besagt, dass jede mögliche Berechnung von einer Turing-Maschine effizient simuliert werden kann. Quantencomputer werden in der Tat zeigen, dass die effiziente These von Church-Turing ungültig ist (modulo einige rechnerisch komplexe mathematische Vermutungen und modulo die "asymptotische Interpretation"). Ich denke, die effiziente Church-Turing-Vermutung wurde erstmals 1985 von Wolfram formuliert. Der Artikel ist in Pitowskys oben verlinktem Artikel zitiert. Tatsächlich braucht man nicht einmal universelle Quantencomputer, um die effiziente CT-These zu widerlegen, und es ist interessant, Forschungszweig (den Aaronson ua studiert), um die rechnerische Überlegenheit von Quantensystemen möglichst einfach nachzuweisen.

Es ist auch ein interessantes Problem, wenn es einfachere Möglichkeiten gibt, die Rechenüberlegenheit von Quantencomputern bei Vorhandensein von Rauschen zu demonstrieren, als eine vollständige Quantenfehlertoleranz (die eine universelle Quantenberechnung ermöglicht). (Scott A. interessiert sich in der Tat auch für dieses Problem.)

Nach meinem Verständnis besteht die "Unmöglichkeit", die These zu beweisen oder zu widerlegen, darin, dass es keine formale Definition von "effektiv berechenbar" gibt. Wir gehen heute davon aus, dass es genau "von einer Turing-Maschine berechenbar" ist, aber das wirft die Frage auf.

Berechnungsmodelle, die strikt leistungsfähiger als eine Turing-Maschine sind, wurden untersucht. Einige Beispiele finden Sie unter http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation . Oder nimm einfach eine Turingmaschine mit einem Orakel für das Halteproblem für Turingmaschinen. Solch eine Maschine hat ein eigenes Halteproblem, kann aber das ursprüngliche Halteproblem problemlos lösen. Natürlich haben wir kein solches Orakel, aber es gibt nichts mathematisch Unmögliches an der Idee.

Beweise für Hypercomputing setzen im Allgemeinen die Gültigkeit der Bekenstein'schen Schranke voraus, die eine bestimmte Grenze für die Informationsmenge festlegt, die eine endliche Menge an Speicherplatz enthalten kann. Es gibt Kontroversen über diese Grenze, aber ich denke, die meisten Physiker akzeptieren sie.

Wenn die Bindung von Bekenstein schwer verletzt wird und die Menge der in einer bestimmten Region enthaltenen Informationen (z. B. ein Schwarzes Loch oder eine unendlich feine und robuste Gravur) unbegrenzt ist, gibt es willkürlich verfeinerbare Mechanismen, um deren Inhalt zu untersuchen Man kann annehmen, dass gerade ein Artefakt existiert, das ein stoppendes Orakel codiert, indem man die Strahlung, die von einem sorgfältig konstruierten Objekt emittiert wird, sorgfältig untersucht, das in das Schwarze Loch fällt, oder indem man einen Stift über die Rillen der Gravur fährt .

Alles sehr unwahrscheinlich, aber es zeigt, dass die Behauptung, dass Hyperberechnung unmöglich ist, keine mathematische Wahrheit ist, sondern auf der Physik basiert. Das heißt, Andrej hat recht, wenn er sagt, wir können uns vorstellen, was es bedeuten würde, [die These von Church-Turing] zu widerlegen. Nämlich, wenn jemand ein Gerät gebaut hat, das (zuverlässig) eine Funktion berechnet hat, die von keiner Turing-Maschine berechnet werden kann .

In Bezug auf die Extended Church-Turing-These (gemeint als "Eine probabilistische Turing-Maschine kann jede physikalisch berechenbare Funktion effizient simulieren."):

Eine Möglichkeit ist der Unterschied zwischen klassischen und Quantencomputern. Insbesondere die Frage: "Gibt es eine Aufgabe, die Quantencomputer nicht erfüllen können wie klassische Computer?" Ein kürzlich veröffentlichter ECCC-Bericht von Scott Aaronson (siehe Vermutung 9 auf Seite 5) hebt eine Vermutung hervor, die, falls bewiesen, starke Beweise gegen die Extended Church-Turing Thesis liefern würde.

Wenn man die Extended Church-Turing Thesis widerlegen würde, könnte es so aussehen - nämlich indem man eine effizient berechenbare Aufgabe demonstriert, die eine (klassische) Turing-Maschine nicht effizient berechnen kann.

Ein neuer Artikel auf der DCM2011 : Eine Formalisierung und ein Beweis der erweiterten kirchlichen These (Nachum Dershowitz und Evgenia Falkovich)

Die folgenden Artikel von Selim Akl könnten für die Diskussion von Interesse und relevant sein:

Akl, SG, "Drei Gegenbeispiele, um den Mythos des Universalcomputers zu zerstreuen", Parallel Processing Letters, Vol. 3, September 2006, S. 381 - 403.

Akl, SG, "Auch Beschleunigungsmaschinen sind nicht universell", International Journal of Unconventional Computing, Vol. 3, No. 2, 2007, S. 105 - 121.

Nagy, M. und Akl, SG, "Parallelität in der Quanteninformationsverarbeitung besiegt den Universalcomputer", Parallel Processing Letters, Special Issue on Unconventional Computational Problems, Vol. 3, September 2007, S. 233 - 262.

Hier ist die Zusammenfassung der ersten:

Es wird gezeigt, dass das Konzept eines Universalcomputers nicht verwirklicht werden kann. Insbesondere werden Instanzen einer berechenbaren Funktion F gezeigt, die auf keiner Maschine U berechnet werden können, die nur eine endliche und feste Anzahl von Operationen pro Schritt ausführen kann. Dies gilt auch dann, wenn die Maschine U über einen unendlichen Speicher und die Fähigkeit verfügt, mit der Außenwelt zu kommunizieren, während sie versucht, F zu berechnen. Dies gilt auch dann, wenn U eine unbestimmte Zeit für die Berechnung zur Verfügung steht F. Dieses Ergebnis gilt nicht nur für idealisierte Rechenmodelle, wie die Turing-Maschine und dergleichen, sondern auch für alle bekannten Universalcomputer, einschließlich bestehender herkömmlicher Computer (sowohl sequentiell als auch parallel) sowie für in Betracht gezogene unkonventionelle, wie z als biologische und Quantencomputer.

Wie kann es wahr sein? Ein klassischer Computer kann einen Quantencomputer nicht effizient simulieren. Es gibt Quantenalgorithmen, die eine exponentielle Beschleunigung gegenüber klassischen Computern mit klassischen Algorithmen ermöglichen: Shors Algorithmus ist einer.