Kann Schach eine Universal Turing Machine simulieren?


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Ich bin auf der Suche nach einer endgültigen Antwort auf die Titelfrage.

Gibt es eine Reihe von Regeln, die ein Programm in eine Konfiguration von endlichen Stücken auf einem unendlichen Brett umwandeln, sodass, wenn Schwarz und Weiß nur legale Züge spielen, das Spiel in endlicher Zeit endet, wenn das Programm anhält?

Die Regeln sind die gleichen wie beim gewöhnlichen Schach, abzüglich der 50-Züge-Regel, des Austauschs und der Rochade.

Und was ist die minimale Anzahl verschiedener Arten von Steinen (dh das einfachste Spiel), die benötigt werden, damit ein schachähnliches Spiel vollständig ist? (Jede Art von Stück mit einer Reihe von erlaubten Zügen, die unter Übersetzungen unveränderlich sind).

Gibt es ein Stück, das wir dem Spiel hinzufügen können, um zu beweisen, dass es vollständig ist?


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Diese Frage wird auch auf gepostet math.SE Sie bitte die lesen FAQ über Cross-Posting.
Gopi

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Sie haben dies gerade erst auf math.SE gepostet und bereits einen hilfreichen Verweis auf einen MO-Link sowie eine Antwort erhalten. Wenn sich herausstellt, dass diese nicht geeignet sind, können Sie hier Crossposting durchführen. Im Allgemeinen bevorzugen wir jedoch kein gleichzeitiges Crossposting, da dies zu Diskussionsfrakturen und -wiederholungen führt. Ich schließe vorerst, aber Sie können es zur Wiedereröffnung markieren, wenn Sie an anderer Stelle keine zufriedenstellenden Antworten erhalten (bitte ignorieren Sie den "Grund für das Schließen" - wir haben nur einige Möglichkeiten)
Suresh Venkat

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Es scheint ziemlich unwahrscheinlich, da Schach in jedem Spiel nur eine begrenzte Anzahl von Figuren hat und eine universelle Turing-Maschine eine unbegrenzte Anzahl von Bits hat. Dies ist jedoch kein Beweis.
Peter Shor

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@Tayfun Pay: Sie "lösen" ein anderes Problem. In der EXP-C-Version von Schach sind dem Brett je nach Wert der Brettbreite bestimmte Figuren zugewiesen . Die Anzahl der Türme usw. wächst mit einem Bruchteil von . Die hier gestellte Frage ist (a) unendliche Tafel und (b) eine beliebige Anzahl von Stücken in einem beliebigen Verhältnis zueinander. nn
Aaron Sterling

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@JE: Der Fragesteller behauptete, die Antworten auf anderen Websites seien unbefriedigend, und ich habe sie erneut geöffnet.
Suresh Venkat

Antworten:


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Ich denke auch, dass eine sehr ähnliche Frage schon einmal gestellt wurde, ich denke zuerst hier: /mathpro/27967/decidability-of-chess-on-an-infinite-board/63684 Hier ist mein aktualisiertes und geänderte Meinung.

Ich denke, das Problem ist nicht vollständig gelöst, aber die Antwort lautet mit ziemlicher Sicherheit Ja. Ich habe keinen Beweis für Schach, da ich nicht in der Lage bin, bestimmte Konfigurationen zu entwerfen, aber ich denke, dass sie existieren müssen. Und selbst wenn sie es nicht tun, tun sie es für ein schachartiges Spiel, was zeigt, dass die Versuche, die Entscheidbarkeit zu beweisen, falsch sein sollten. Später wurde mir klar, dass es hier ein sehr ähnliches Argument gibt: http://www.redhotpawn.com/board/showthread.php?threadid=90513&page=1#post_1708006, aber mein Beweis zeigt, dass tatsächlich zwei Zähler ausreichen und vielleicht meins ist detaillierter.

Die Reduzierung beruht auf dem Begriff einer Stapelmaschine. Eine Stapelmaschine mit nur zwei Stapeln, die ein Stapelalphabet mit nur einem Buchstaben verwendet, kann jede Turing-Maschine simulieren. (Einige Leute würden diesen deterministischen endlichen Automaten mit zwei Zählern bezeichnen.) Unser Ziel wäre es also, eine solche Maschine mit einer Schachposition zu simulieren. Dafür sehe ich zwei Möglichkeiten.

i) Erstellen Sie zwei separate Konfigurationen, sodass sowohl ein Startteil als auch ein bewegliches Teil geändert werden können (um den Status zu speichern). Auch die beweglichen Teile wären miteinander verbunden, z. von Türmen, die sich beim Loslassen schachmatt setzen könnten. Wenn einer der Zustände 1 ist, muss der andere k bewegen und so weiter.

ii) Erstellen Sie eine einzelne Konfiguration, die sich je nach Status horizontal und vertikal bewegt. Platzieren Sie außerdem einen Turm bei (0,0), der sich niemals bewegen würde, aber gewährleisten könnte, dass die Konfiguration "erkennen" kann, wenn sie zu einem leeren Zähler zurückkehrt.

Es bleibt also nichts anderes zu tun, als solche Konfigurationen zu entwerfen, die meiner Meinung nach mit etwas Aufwand und Schachkenntnissen möglich sein sollten. Beachten Sie auch, dass die Konstruktion in beiden Fällen ein Stück verwendet, dessen Reichweite nicht begrenzt ist. Ob dies wirklich notwendig ist? Als ersten Schritt schlug ich vor, eine der Collatz-Vermutung äquivalente Position anzugeben: /mathpro/64966/is-there-a-chess-position-äquivalent-zur-Kollatz-Vermutung


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Gestern habe ich gegoogelt, um den Status dieses Problems zu überprüfen, und ich habe das neue (2012) Ergebnis gefunden:

Dan Brumleve, Joel David Hamkins und Philipp Schlicht, Das Mitspielerproblem des unendlichen Schachs ist entscheidbar (2012)

Also kann das Mate-in-n-Problem des unendlichen Schachs nicht vollständig sein.

Die Entscheidbarkeit von unendlichem Schach ohne Beschränkung der Anzahl von Zügen für einen Partner scheint noch offen zu sein.


Schön, obwohl die Aussage nicht allzu überraschend ist.
Domotorp

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@domotorp: Ich stimme zu :(, aber der Beweis (unter Verwendung einer Struktur erster Ordnung, die in der entscheidbaren Presburger-Arithmetik definierbar ist) ist ordentlich.
Marzio De Biasi

@domotorp: ... Ich versuche diesen Teil zu verstehen: "... Wir argumentieren nun, dass die Sammlung solcher Folgen von Zeichenfolgen, die sich aus Positionen ergeben, regelmäßig ist, indem wir mit einer Nur-Lese-Multi-Tape-Turing-Maschine erkennen, dass sie gehorche den notwendigen Anforderungen ... <Anforderungen> ... und keine zwei lebenden Figuren besetzen das gleiche Feld ... ". 99,99% Ich interpretiere es falsch, aber ich sehe nicht, wie eine reguläre Zeichenfolge die Information einbetten kann, dass sich zwei Teile auf unterschiedlichen Quadraten befinden ...
Marzio De Biasi

Ich bin mit diesem Thema nicht wirklich vertraut, aber ist es nicht so, dass sie eine Multi-Tape-T-Maschine haben? Es scheint, dass sie jede Zeichenfolge auf einem separaten Band haben und dann ist es einfach zu überprüfen. Ich denke, zwei Bänder mit der verschachtelten Saite wären genauso gut, wenn wir eine begrenzte Anzahl von Bändern wollen.
Domotorp
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