Quantensätze klassischer Theoreme

Ich interessiere mich für Beispiele von Problemen, bei denen ein Satz, der scheinbar nichts mit Quantenmechanik / Information zu tun hat (zB Aussagen über rein klassische Objekte), dennoch mit Quantenwerkzeugen bewiesen werden kann. Eine Übersicht über Quantensätze für klassische Theoreme (A. Drucker, R. Wolf) enthält eine schöne Liste solcher Probleme, aber es gibt sicherlich noch viele weitere.

Besonders interessant wären Beispiele, bei denen ein Quantennachweis nicht nur möglich, sondern auch "aufschlussreicher" ist, in Analogie zu einer reellen und komplexen Analyse, bei der ein echtes Problem in der komplexen Umgebung häufig natürlicher wird (z. B. ist die Geometrie einfacher, da ist algebraisch geschlossen usw.); mit anderen Worten, klassische Probleme, für die die Quantenwelt ihr "natürlicher Lebensraum" ist.$\mathbb{C}$

(Ich definiere hier nicht "Quantenhaftigkeit" in einem genauen Sinne und man könnte argumentieren, dass all diese Argumente letztendlich auf lineare Algebra hinauslaufen. Nun, man kann auch jedes Argument mit komplexen Zahlen übersetzen, um nur Paare von Realzahlen zu verwenden - aber na und ?)

Es gibt eine kürzlich erschienene Veröffentlichung von Scott Aaronson, die einen neuen Beweis dafür liefert, dass die bleibende Karte # P-hart ist. Dieser Beweis basiert auf dem Modell des linear-optischen Quantencomputers und ist intuitiver als der von Leslie Valiant.

Meiner Meinung nach gefällt mir das folgende Papier:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos und Miklos Santha. Effizientes Testen von Gruppen. In STOC'05.

Hier definieren sie einen "klassischen" Tester für abelsche Gruppen. Zuerst geben sie jedoch einen Quantentester und dann eliminieren sie alle Quantenteile.

Was ich an dieser Arbeit mag, ist, dass sie den Quantentester verwenden, um sich ein Bild zu machen und sich dem Problem zu nähern. Hört sich vielleicht etwas schwieriger an (beginnen Sie mit dem Quanten- und dem klassischen Ansatz), aber die Autoren sind bekannte Forscher im Bereich des Quantencomputers. Für sie ist es vielleicht einfacher, damit zu beginnen.

Ich würde sagen, dass ihr technischer Hauptbeitrag ein Tester für Homomorphismus ist, mit dem sie die Quantenteile eliminieren.

Zwei sehr aktuelle und interessante Ergebnisse:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary und Ronald de Wolf haben bewiesen, dass "es kein lineares Programm in Polynomgröße (LP) gibt, dessen Polytop mit dem Polytop des reisenden Verkäufers in Verbindung steht, auch wenn die LP nicht symmetrisch sein muss "(aus dem Abstract zitiert).
  Sie nutzen die Komplexität der Quantenkommunikation als Werkzeug. Siehe ihre Zeitung und Gil Kalais Blog-Post . Beachten Sie auch Daves Kommentar unter Gil Kalais Beitrag. Ich habe die Zeitung noch nicht gelesen, kann mich also nicht dazu äußern, wo und wie Quantenmaterial verwendet wird.

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel und Robin Kothari verwendeten die Komplexität von Quantenabfragen , um untere Schranken für ein sehr klassisches Maß zu beweisen, bei dem es sich um die Anzahl der Formelgatter für Funktionen wie PARITY handelt. Siehe ihre Zeitung .

Da Permanenten die Wahrscheinlichkeitsamplituden der Messergebnisse von Bosonen angeben, nachdem sie in einem linearen Interferometer interferieren, erhielt Scheel einen einfachen "Quanten" - Beweis, dass der Absolutwert der Permanenten einer einheitlichen Matrix 1 ist ( http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127 ).

• siehe auch klassisches rechnen umfasst quantenideen eine art semi-pop-wissenschaftlicher überblick / überblick über dieses klassische / quantendichotomie-phänomen von wolchover, der für das simons-institut mit einigen beispielen und hinweisen / hinweisen schreibt.

In den letzten Jahren haben Quantenideen den Forschern geholfen, die Sicherheit vielversprechender Datenverschlüsselungsschemata zu beweisen, die als gitterbasierte Kryptosysteme bezeichnet werden. Einige Anwendungen können die sensiblen Informationen der Benutzer, wie z. Ein Quantencomputerbeweis führte auch zu einer Formel für die minimale Länge von fehlerkorrigierenden Codes, die Schutz vor Datenkorruption bieten.

Quantum-Ideen haben auch zu einer Reihe wichtiger theoretischer Ergebnisse geführt, wie zum Beispiel zur Widerlegung eines alten, fehlerhaften Algorithmus, der behauptet, das bekanntermaßen schwierige Problem des Handlungsreisenden effizient zu lösen, indem er nach der schnellsten Route durch mehrere Städte fragt.

• Ein weiteres aktuelles Beispiel, das der Forschungsrichtung der Razborov / Rudich Natural Proofs ähnelt (die die Trennung von Komplexitätsklassen mit dem Brechen von Zufallszahlengeneratoren in Verbindung brachten)

Eine Quantenuntergrenze zur Unterscheidung zufälliger Funktionen von zufälligen Permutationen Henry Yuen

Das Problem der Unterscheidung zwischen einer Zufallsfunktion und einer zufälligen Permutation in einer Domäne der Größe N ist in der theoretischen Kryptographie wichtig, in der die Sicherheit vieler Grundelemente von der Härte des Problems abhängt. Wir untersuchen die Komplexität der Quantenabfrage dieses Problems ...