Gibt es natürliche Trennungen in der nichtdeterministischen Zeithierarchie?

Das ursprüngliche Theorem der nicht deterministischen Zeithierarchie ist Cook zu verdanken (die Verbindung besteht zu S. Cook, Eine Hierarchie für nicht deterministische Zeitkomplexität , JCSS 7 343–353, 1973). Das Theorem besagt , dass für eine beliebige reelle Zahlen und , wenn dann NTIME ( ) ist streng in NTIME enthaltene ( ). $r_1$ $r_2$ $1 \le r_1 \lt r_2$ $n^{r_1}$ $n^{r_2}$

Ein wesentlicher Teil des Beweises verwendet eine (nicht spezifizierte) Diagonalisierung, um eine Trennsprache von den Elementen der kleineren Klasse zu konstruieren. Dies ist nicht nur ein nicht konstruktives Argument, sondern Sprachen, die durch Diagonalisierung erhalten werden, liefern normalerweise keine anderen Einsichten als die Trennung selbst.

Wenn wir die Struktur der NTIME-Hierarchie verstehen wollen, muss wahrscheinlich die folgende Frage beantwortet werden:

Gibt es eine natürliche Sprache in NTIME ( ), aber nicht in NTIME ( )? $n^{k+1}$ $n^k$

Ein Kandidat könnte k-ISOLATED SAT sein , für das eine Lösung für eine CNF-Formel ohne andere Lösungen innerhalb der Hamming-Distanz k gefunden werden muss. Um jedoch die untere Grenze beweisen ~~scheint~~ ist heikel, wie üblich. Es ist offensichtlich, dass die Überprüfung eines Hamming-k-Balls keine potenziellen Lösungen "erfordert", dass verschiedene Zuordnungen überprüft werden, aber dies ist keineswegs einfach zu beweisen . (Hinweis: Ryan Williams weist darauf hin, dass diese Untergrenze für -ISOLATED SAT tatsächlich P ≠ NP beweisen würde, sodass dieses Problem nicht der richtige Kandidat zu sein scheint.) $\Omega(n^k)$ $k$

Es ist zu beachten, dass der Satz unabhängig von unbewiesenen Trennungen wie P gegen NP unbedingt gilt. Eine bejahende Antwort auf diese Frage würde daher P vs. NP nicht auflösen, es sei denn, es hat zusätzliche Eigenschaften wie oben -ISOLIERTES SAT. $k$ Eine natürliche Trennung von NTIME würde vielleicht helfen, einen Teil des "schwierigen" Verhaltens von NP zu beleuchten, der Teil, der seine Schwierigkeit aus einer unendlichen aufsteigenden Folge von Härten herleitet.

Da Untergrenzen schwierig sind, nehme ich als Antwort natürliche Sprachen an, für die wir vielleicht einen guten Grund haben, an eine Untergrenze zu glauben, obwohl es möglicherweise noch keinen Beweis gibt. Wenn diese Frage zum Beispiel DTIME gewesen wäre, hätte ich -CLIQUE für eine nicht abnehmende Funktion als natürliche Sprache akzeptiert , die wahrscheinlich die erforderlichen Trennungen liefert. basierend auf Razborovs und Rossmans Schaltkreisuntergrenzen und der -Inapproximierbarkeit von CLIQUE. $f(k)$ $f(x) \in \Theta(x)$ $n^{1-\epsilon}$

(Bearbeitet, um Kavehs Kommentar und Ryans Antwort anzusprechen.)

cc.complexity-theory nondeterminism time-hierarchy

— András Salamon
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Das ist eine nette Frage, András

— Suresh Venkat

Stephen Cook schlug die lineare Programmierung als mögliches Trennzeichen für

k = 2

$k=2$

— András Salamon

Könnten Sie bitte erläutern, was Sie unter "nicht konstruktivem Argument" verstehen? Ein Beweis mittels Diagonalisierung muss nicht nicht konstruktiv sein.

— Kaveh

Soweit ich weiß, kennen wir solche Sprachen nicht, oder wenn ja, gibt es erhebliche Kontroversen über ihre "Natürlichkeit". Ich weiß, dass dies keine befriedigende Antwort ist, aber ich kann sagen:

$\Omega(n^k)$ $k$ $P \neq NP$

$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$ $NTIME[n^k]$

$\Sigma_2 TIME[n]$ $k$ $O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$ $k$

Hier ist der Beweis von Teil (a). Sei ISOLATED SAT die Version des Problems mit das als Teil der Eingabe angegeben wird (etwa in Unary). Angenommen, wir beweisen, dass ISOLATED SAT Zeit für alle . Wenn , dann ist in für ein festes (der Beweis verwendet eine effiziente Version von Cooks Theorem: Wenn in der Zeit ein SAT-Algorithmus läuft , dann ist jeder reicht aus). Aber wir haben bewiesen, dass es in eine Sprache gibt, die nicht für jedes in $k$ $\Omega(n^k)$ $k$ $P=NP$ $\Sigma_2 TIME[n]$ $TIME[n^c]$ $c$ $n^d$ $c > d^2$ $\Sigma_2 TIME[n]$ $TIME[n^k]$ $k$ . Das ist ein Widerspruch, also . $P \neq NP$

Hier ist der Beweis von Teil (b). Wenn jedes effizient auf eine k-ISOLATED SAT-Formel reduziert werden könnte (z. B. werden alle Bit-Instanzen von auf ISOLATED SAT-Formeln von höchstens reduziert Größe) dann . Dies würde sofort implizieren , aber darüber hinaus ist es sehr unwahrscheinlich, dass alle innerhalb der Polynom-Hierarchie so effizient simuliert werden können. $L \in NTIME[n^k]$ $n$ $L$ $k$ $f(k) n^{c}$ $NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$ $coNP \neq NP$ $NP$

— Ryan Williams
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Vielen Dank für das nette Argument, dass k-ISOLATED SAT den Job nicht machen wird.

— András Salamon