Was ist über interaktive Multi-Prover-Proofs mit Kurznachrichten bekannt?

Beigi, Shor und Watrous haben eine sehr gute Arbeit über die Möglichkeiten von quanteninteraktiven Proofs mit kurzen Botschaften. Sie betrachten drei Varianten von "Kurznachrichten", und die spezielle, die mir wichtig ist, ist ihre zweite Variante, bei der eine beliebige Anzahl von Nachrichten gesendet werden kann, die Gesamtnachrichtenlänge muss jedoch logarithmisch sein. Insbesondere zeigen sie, dass solche interaktiven Proofsysteme die Ausdruckskraft von BQP haben.

Was ich wissen möchte, ist, ob es analoge Ergebnisse für die Multi-Prover-Einstellung gibt, entweder für klassische oder für Quantenverifizierer. Sind nicht-triviale Komplexitätsergebnisse für interaktive Beweise mit mehreren Prüfern bekannt, bei denen die Gesamtlänge aller Nachrichten in Bezug auf die Problemgröße auf logarithmische Werte beschränkt ist?

Komplett klassischer Fall (MIP)

Wenn es sich bei dem Prüfer um einen klassischen Prüfer handelt und zwischen den Prüfern keine Verstrickungen bestehen, enthält Ihre Klasse BPP∪NP und ist in MA enthalten .

Es ist trivial, dass BPP eine Untergrenze ist. Um zu zeigen, dass die Klasse NP enthält, betrachten Sie das standardmäßige einrundige interaktive Proofsystem mit zwei Beweismitteln für die 3-Färbbarkeit mit perfekter Vollständigkeit und Fehlerhaftigkeit 1−1 / Poly. Wenn Sie den Klangfehler auf eine Konstante reduzieren möchten, kombinieren Sie dies mit dem PCP-Theorem.

Für die obere Schranke gilt die folgende stärkere Aussage: MIP mit der Einschränkung, dass die Gesamtnachrichtenlänge vom Prüfer zu jedem Prüfer O (log n ) gleich MA ist. Dies liegt daran, dass eine Strategie jedes Beweisers durch eine Folge von Polynomlängen beschrieben werden kann.

Interessanterweise existiert eine andere obere Schranke, wenn das System vollkommen vollständig ist. Interaktive Mehrfachprüferprüfsysteme mit perfekter Vollständigkeit mit O (log n ) -Bit-Gesamtkommunikation erkennen nämlich höchstens P ^{NP [log]} , und dies gilt auch dann, wenn wir einen unbegrenzten Zuverlässigkeitsfehler zulassen. Um dies zu beweisen im Fall von zwei Prüfern, lassen x _s sein die Verkettung aller von den ersten Prover gegebenen Antworten , wenn die Verkettung aller Fragen zur ersten Prover ist s , und definiert y _t analog zum zweiten Prover. Diese Variablen x _s und y _t müssen vom Prüfer mit Sicherheit akzeptiert werdenmuss bestimmte Einschränkungen erfüllen und beachten, dass dies eine 2CSP ist. Es gibt höchstens Poly ( n ) -Wahlen für Tupel ( s , t , x _s , y _t ), und für jede Wahl können wir das NP-Orakel verwenden, um zu testen, ob der Prüfer dieses Tupel ablehnt. Daher können wir mit dem NP-Orakel alle Einschränkungen für die Variablen x _s und y _{t auflisten}in der Polynomzeit. Abschließend testen wir noch einmal mit dem NP-Orakel, ob es eine Zuordnung zu diesen Variablen gibt, die alle Bedingungen erfüllt. Obwohl dieser Algorithmus das NP-Orakel mehrmals polynomiell verwendet, können alle Abfragen mit Ausnahme der letzten parallel durchgeführt und daher in einen P ^{NP [log]} -Algorithmus umgewandelt werden. Der Fall von mehr als zwei Prüfern ist analog.

Diese obere Schranke impliziert, dass, obwohl jedes MA-System vollständig zu einem gemacht werden kann, wir nicht auf ein interaktives Beweissystem mit mehreren Prüfern hoffen können, das vollständig mit der O (log n ) -Bit-Kommunikation ist, es sei denn, MA⊆P ^{NP [log]} . Ich weiß nicht, wie unwahrscheinlich die Aufnahme von MA⊆P ^{NP [log]} ist, aber ich stelle nur fest, dass die Komplexitäts-Zoologie angibt, dass es ein Orakel gibt, in Bezug auf welches BPP⊈ P ^NP (und daher eindeutig MA⊈P ^{NP [log]} ).

(Im Fall eines einzelnen Beweisers impliziert Satz 2 von Goldreich und Håstad [GH98], dass IP mit der Gesamtnachrichtenlänge O (log n ) Bits gleich BPP ist.)

Hinzugefügt . Eine notwendige und ausreichende Charakterisierung ist wie folgt.

Um diese Charakterisierung zu erklären, benötigen wir eine Variante des Begriffs der Karp-Reduzierbarkeit (polynomielle Viel-Eins-Reduzierbarkeit). Nehmen wir für zwei Entscheidungsprobleme A und B an , dass A FP ^BPP -reduzierbar auf B ist (ich weiß, das ist ein schrecklicher Name), wenn es eine deterministische Polynomzeit-Turing-Maschine M mit Zugriff auf das BPP-Orakel gibt, die yes- Instanzen zu Ja-Instanzen und No-Instanzen zu No-Instanzen, wobei wir den "nicht-intelligenten" Oracle-Zugriff erlauben (was bedeutet, dass Mkann eine Abfrage an das BPP-Orakel bezüglich einer Instanz richten, die das Versprechen des BPP-Problems nicht erfüllt. In diesem Fall gibt Orakel willkürlich "Ja" oder "Nein" zurück. Dann kann bewiesen werden, dass die folgenden Bedingungen für ein Problem A äquivalent sind.

(i) A hat ein interaktives Beweissystem mit mehreren Beweisen mit O (log n ) -Bit-Kommunikation und zweiseitig begrenztem Fehler.
(ii) A hat ein einrundiges interaktives Beweissystem mit zwei Beweisen mit einer O (log n ) -Bit-Kommunikation, einem exponentiell kleinen Vollständigkeitsfehler und einem konstanten Zuverlässigkeitsfehler.
(iii) A ist FP ^BPP -reduzierbar auf ein Problem in NP.

(Beweisidee: Implikation (ii) ⇒ (i) ist trivial. Implikation (i) ⇒ (iii) kann auf ähnliche Weise wie der obige Beweis im Falle eines einseitigen Fehlers erhalten werden. Implikation (iii) ⇒ (ii) ) folgt aus dem PCP-Theorem, weil die Klasse von Problemen, die die Bedingung (ii) erfüllen, unter FP- ^BPP- Reduktionsfähigkeit geschlossen ist.)

Klassischer Prüfer mit verschränkten Prüfern (MIP *)

Als nächstes betrachten wir den Fall mit einem klassischen Prüfer und verwickelten Prüfern. In diesem Fall enthält die Klasse mit beschränktem Fehler wieder BPP∪NP.

Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner und Vidick [KKMTV11] zeigen, dass jedes Problem in NP ein einrundiges interaktives Proof-System mit drei Beweisen mit perfekter Vollständigkeit und Fehlerhaftigkeit 1−1 / poly hat, wobei die Gesamtlänge der Nachrichten O ist ( log n ) Bits, und die Solidität hält gegen verwickelte Prüfer. Daher enthält MIP * mit einer Gesamtnachrichtenlänge von 0 (log n ) Bits und einem begrenzten Fehler NP. Ein späteres Ergebnis von Ito, Kobayashi und Matsumoto [IKM09] (shameless plug) reduziert die Anzahl der Prüfer von drei auf zwei. Der Fall konstanter Solidität ist meines Wissens nach offen.

Es ist nicht bekannt, ob MIP * mit einer Gesamtnachrichtenlänge von O (log n ) Bits in der Klasse R von entscheidbaren Problemen enthalten ist oder nicht, und diese Frage ist äquivalent zu der Frage, ob MIP * ⊆R (ein anderes offenes Problem) durch das Auffüllargument.

Verweise

[GH98] Oded Goldreich und Johan Håstad. Über die Komplexität interaktiver Beweise mit eingeschränkter Kommunikation. Information Processing Letters , 67 (4): 205–214, Aug. 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi und Keiji Matsumoto. Oracularization und Two-Prover-One-Round-Interactive-Proofs gegen nichtlokale Strategien. Verfahren: Vierundzwanzigste jährliche IEEE-Konferenz über Computational Complexity (CCC 2009) , 217–228, Juli 2009. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner und Thomas Vidick. Verwickelte Spiele sind schwer zu approximieren. SIAM Journal on Computing , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293