Eine Kategorie hat Nebenprodukte, wenn dieselben Objekte sowohl Produkte als auch Nebenprodukte sind. Hat jemand die Proof-Theorie von Kategorien mit Bioprodukten untersucht?
Das vielleicht bekannteste Beispiel ist die Kategorie der Vektorräume, in der die direkte Summe und die direkte Produktkonstruktion den gleichen Vektorraum ergeben. Das heißt, Vektorräume und lineare Abbildungen sind ein leicht entartetes Modell der linearen Logik, und ich bin gespannt, wie eine Typentheorie aussehen würde, die diese Entartung akzeptiert.
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Vielleicht Cockett & Seely? Vielleicht Intro to Linear Bicategories oder etwas anderes aus math.mcgill.ca/~rags .
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Dave Clarke
Vielleicht ist das "Bi-" in "Bi-Produkten" irreführend: Es handelt sich nicht um eine 2-kategorische Sache, sondern nur darum, was passiert, wenn dieselben Objekte in normalen Kategorien sowohl Produkte als auch Koppelprodukte (plus einige Kohärenzbedingungen) sind.
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Neel Krishnaswami
Vielleicht ihr Papier: FINITE SUM - PRODUCT LOGIC.
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Dave Clarke
Etwas entartet? Ich glaube, dass das Identifizieren von Produkten und Koprodukten das Identifizieren des ursprünglichen und des endgültigen Objekts impliziert, die typischerweise leere und einzelne Typen sind, die als triviale Falschheit bzw. Wahrheit interpretiert werden. In der linearen Logik, denke ich, führt dies die gesamte additive Hälfte der Logik zu einer selbstverdoppelten Operation mit einer Identität, die beide Multiplikationen vernichtet. Auf der anderen Seite ist das multiplikative Fragment in der Regel die konstruktivere Hälfte der linearen Logik. Vielleicht führt dies zu interessanten Ergebnissen ...
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CA McCann,
@camccann: Es gibt Mathematik außerhalb der Logik. In der kommutativen Algebra stimmen in der Regel das ursprüngliche und das terminale Objekt sowie Nebenprodukte und Produkte überein. Zum Beispiel ist die triviale abelsche Gruppe sowohl initial als auch terminal. Ein Objekt, das sowohl Anfangs- als auch Endobjekt ist, wird als Nullobjekt bezeichnet. Schauen Sie sich die abelschen Kategorien an, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie das alles funktioniert.
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Andrej Bauer