Eine genaue Antwort kann gegeben werden. Die Anzahl der Strings der Länge mit (einfacher) Komplexität beträgt höchstens n 0 2 n 0 - K ( n 0 | n ) bis zu einem konstanten Faktor. Daher hat jeder Prozess, der zufällig eine Teilmenge auswählt, mit vernünftiger Wahrscheinlichkeit einen 2 - K ( n 0 | n ) + O ( 1 ) Bruchteil von Zeichenfolgen mit einer Komplexität von weniger als n 0 . Um unseren Anspruch zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass die Anzahl der Zeichenfolgen komplex istnn02n0- K.( n0| n)2- K.( n0| n)+O(1)n0gleich zu ist auch gegeben durch 2 k - K ( k | n ) . Wir können das notwendige Ergebnis zeigen, indem wir die Summe dieses Wertes über k von 1 bis n 0 bestimmen . Um dies zu zeigen, verwenden wir ein Additivitätsergebnis für die einfache Komplexität (aufgrund von B. Bauwens und A. Shen. Ein Additivitätssatz für die einfache Kolmogorov-Komplexität . Theory of Computing Systems, 52 (2): 297-302, Februar 2013),
C. ( a , b ) = K ( a | C ( a , b )k2k−K(k|n)kn0
Hier bezeichnet K ( ⋅ ) die präfixfreie Kolmogorov-Komplexität. Die Wahl a = n , beobachten wirdass für jedes n -BitString b Komplexitäts k haben wir
k = C ( b ) = C ( n , b ) + O (
C(a,b)=K(a|C(a,b))+C(b|a,C(a,b))+O(1).
K(⋅)a=nnbk
Daherhaben wirfür jedes solche
b C ( b | n , k ) = k - K ( n | k ) + O ( 1 ) . Sei
k ' = k - K ( n |k=C(b)=C(n,b)+O(1)=K(n|k)+C(b|n,k)+O(1).
bC(b|n,k)=k−K(n|k)+O(1) . Nun kann man beobachten, dass es höchstens
O ( 2 k ' ) solcher Strings
b gibt und jeder der lexikographisch ersten
2 k ' Strings der Länge
n C ( b | n , k ) ≤ k ' + O ( 1 ) erfüllt. Somiterfüllt
Ω ( 2 k ' ) von ihnen
C ( b | n , k ) =k′=k−K(n|k)O(2k′)b2k′nC(b|n,k)≤k′+O(1)Ω(2k′) .
C(b|n,k)=k′+O(1)