Diese Frage ist von der Polynom-Hirsch-Vermutung (PHC) inspiriert. Ist bei gegebenem Facetten-Polytop in die spektrale Lücke seines Kantenscheitelpunkt-Graphen (nenne es ) niedriger begrenzt durch ? Man beachte, dass der Zyklusgraph auf Eckpunkten zeigt, dass die spektrale Lücke selbst für so klein sein könnte wie ; also wäre die vermutete Grenze - wenn sie wahr wäre - fast eng.P R d G Ω ( 1 / p o l y ( n ) ) , n d = 2 O ( 1 / p o l y ( n ) )
Eine Ja-Antwort würde die PHC implizieren. Tatsächlich würde dies auch bedeuten, dass lineare Programme effizient durch einen zufälligen Durchlauf auf den Polytop-Eckpunkten gelöst werden können, und dieser Algorithmus widmet der objektiven Funktion nicht einmal viel Aufmerksamkeit! Das scheint zu schön, um wahr zu sein.
Wie ist der Status dieses Problems: offen (wie PHC) oder falsch? Wenn falsch, gibt es einfache Gegenbeispiele?
Hinweis : Ich habe gerade die üblichen Komplikationen bei der Definition von Expandern erkannt: muss nicht regelmäßig oder zweiteilig sein. Ich hoffe, dass diese beiden technischen Probleme mit Standardmethoden gelöst werden können, und dass sie insbesondere meine Frage nicht trivial machen. (Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege!)