PARITY mit begrenztem Fanout: Einfacher Beweis?

$AC^0$ ist die Klasse von Schaltkreisen mit konstanter Tiefe und Polynomgröße mit NICHT-Gattern und unbegrenzten Fan-In- UND- und ODER-Gattern, wobei Eingänge und Gatter auch unbegrenzte Fan-Outs aufweisen.

Betrachten Sie nun eine neue Klasse, nennen Sie sie die ähnelt, für die Eingänge und Gatter jedoch höchstens Fanout haben . Diese Klasse ist eindeutig in . Tatsächlich ist es streng in , wie hier angegeben . Daher ist PARITY offensichtlich nicht in . $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

Gibt es einen Beweis für PARITY der nicht auch für durchläuft ? Mit anderen Worten, gibt es einen Beweis, der keine leistungsfähigen Techniken wie das Switching Lemma oder die Razborov / Smolensky-Methode verwendet? $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Adam Paetznick
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Dies wird in der Literatur : qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:N#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— Hsien-Chih Chang Chang 之

Nein, das ist es nicht, da das Fanin unbegrenzt ist.

— Domotorp

Ah, ich habe das Wort Fanout falsch verstanden. Danke für den Hinweis.

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

In Verbindung stehender Pfosten durch @Kaveh: cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800 , verschoben von den Kommentaren unten, um Belichtung zu erhöhen.

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

Was ist eigentlich "beschränktes Fanout"?

— xxx ---

Antworten:

Ich vermisse vielleicht etwas, aber ist dasselbe wie eine Formel? Da jedes Eingangsbit höchstens eine begrenzte Anzahl von Gates beeinflussen kann, können wir einfach annehmen, dass jedes Gate nur einen Ausgang hat (nachdem möglicherweise einige Dinge dupliziert wurden), und wir können auch keine Gates herunterdrücken. Wir wissen, dass die Formelgröße der Parität n ^ 2 ist (siehe Troy J. Lee, " Die Formelgröße der Parität ", 2007), und da wir auf jeder Ebene unserer Schaltung nur O (n) Tore haben können, zeigt dies, dass Parität ist nicht in . $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— domotorp
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Mit "Formel" meinen Sie also eine Formel mit linearer Größe, richtig? und mit Größe meinst du Formel Größe ...

— Alessandro Cosentino

Ich denke, Ihre Antwort ist am Ende richtig, aber die Begründung ist subtiler. Gate-Fanout kann durch Duplizieren von Teilen der Schaltung reduziert werden, dies erhöht jedoch die Größe der Formel. (Die Formelgröße entspricht der Anzahl der Eingangsleitungen.) Angenommen, der Gate-Fanout beträgt höchstens 2. Um den Fanout der Gates der unteren Ebene zu verringern, muss jedes Gate und jeder Eingang dupliziert werden , wodurch sich die Größe der Formel verdoppelt. Wiederholen dieses Vorgangs für jede Schicht ergibt eine Formel der Größe

, wo

die Schaltungstiefe ist. In unserem Fall ist

eine Konstante, sodass die Formelgröße immer noch linear ist.

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— Adam Paetznick

Dies war genau das, was ich meinte. Tut mir leid, wenn meine Ausstellung schlecht war.

— Domotorp

@Alessandro: Es tut mir leid, wenn ich deine Frage falsch verstanden habe. Aber der erste Eindruck ist , dass ein beliebiger Tiefe-d transformieren können Schaltung der Größe in eine Tiefe d Formel (Fanout - 1) der Größe etwa : nur Schicht- für -Schicht gehen , beginnend von unten (neben den Eingängen) Ebene, und nehmen Sie mehrere Kopien desselben Tores; bei jeder Schicht kann die Anzahl der Tore um höchstens den Faktor ansteigen . Dies bedeutet , dass jede Untergrenze für Formeln eine untere Schranke bedeutet , für Schaltkreise $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ . Daher ist es schwierig, für -Formeln einfachere Beweise für untere Schranken zu erwarten : In der Welt von ist eine Konstante. $AC^0$ $AC^0$ $d$

Übrigens hat Ihre Sprache (Strings mit genau einer ) eine triviale DNF (Tiefe-2- Formel ) mit Monomen. $X$ $1$ $n$

— Stasys
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es scheint mir, dass wir es besser machen können als

da Fan-Outs begrenzt sind, können wir

wobei

das maximale Fan-Out ist. Darüber hinaus ist die Größe der Schaltung (

) linear , da jedes Eingangsbit nur eine begrenzte Anzahl von Malen verwendet wird.

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— Kaveh

Ein anderer Weg, um zu sehen, dass

streng in

ist, besteht darin, dass, da jedes Eingangsbit ein Fanout von höchstens k aufweist, höchstens

Gates in der ersten Schicht und

Gates in der Schicht vorhanden sind zweite Schicht und so weiter. Da die Tiefe konstant ist, bedeutet dies, dass die Schaltung insgesamt

Gates hat. Somit ist keine

-Funktion, die Schaltungen mit superlinearer Größe benötigt, in

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— Robin Kothari

Kann mir jemand sagen, warum dieses Modell "nicht mehr als k Kopien einer Eingabevariablen" interessant ist? Auch wenn die Tiefe konstant ist. In welchem Kontext entsteht ein solches Modell? Bin nur neugierig.

— Stasys

@Stasys, Sowohl Adams als auch meine Frage ergeben sich aus der Arbeit an der Quantenklasse

, die ohne Fanout-Gate definiert ist.

Q A C^{0}

$QAC^0$

— Alessandro Cosentino

@Adam: Danke, domotorp hat bereits ein Nicht-

-Argument erwähnt (Khrapchenko). Wie cstheory.stackexchange.com/questions/1824/... Robin Kothari feststellte, gibt es noch ein anderes Argument, das von Krichevskii, das zeigt, dass die Funktion Schwelle-2 Formeln mit einer Größe von etwa

. Es ist jedoch bekannt, dass alle bis auf 16 symmetrischen Booleschen Funktionen Formeln mit superlinearer Größe erfordern. Ihre Frage wird also definitiv mit "Ja" beantwortet.

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$

— Stasys