Ist

In der Umfrage "Small Depth Quantum Circuits" von D. Bera, F. Green und S. Homer (S. 36 von ACM SIGACT News, Juni 2007, Bd. 38, Nr. 2) las ich den folgenden Satz:

Die klassische Version von (in der A N D - und O R -Tore höchstens ein konstantes Fanout aufweisen) ist nachweislich schwächer als A C 0 .$QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

Eine Referenz für diese Behauptung fehlt. Ich werde diese Klasse , wobei b f für "bounded fanout" steht. (Der Complexity Zoo ist inaktiv und ich kann nicht überprüfen, ob diese Klasse bereits einen Namen in der Literatur hat.) Wenn wir ein unbegrenztes Fanout für die Eingangsbits annehmen, dann scheinen diese Schaltungen bis zu einer polynomiellen Vergrößerung der Größe konstanten Tiefenformeln zu entsprechen, so dass die obige Behauptung keinen Sinn ergibt. Wenn wir stattdessen auch für die Eingangsbits einen begrenzten Fanout annehmen, fällt mir keine Sprache ein, die diese Klasse von A C 0 trennt . Ein möglicher Kandidat könnte die Sprache X : = { x $AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$ ,dhdie Sprache der Zeichenketten mit nur einer 1. Es ist einfach, X ∈ A C 0 zu zeigen, aber ich konnte nicht beweisen, dass X ∉ A C 0 b f ist .$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$$X \notin AC^{0}_{bf}$

Die Fragen sind:

Ist tatsächlich schwächer als A C 0 ? Wenn ja, eine Idee oder einen Hinweis, wie man das beweisen kann? Und was ist eine Sprache, die diese beiden Klassen voneinander trennt? Was ist mit X ?$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

Ein begrenztes Auffächern von Eingangsbits und Gattern macht die Größe der Schaltung linear. Sei eine Grenze für das Fan-Out der Gates und Eingänge. Es ist eine DAG mit maximalem Grad, der durch k und maximalen Weg der Länge d begrenzt ist . Die Anzahl der verfügbaren Leitungen in jeder Ebene können erhöhen k - mal, und die Anzahl verfügbarer Leitungen oben ist k n , so dass die Gesamtzahl der Drähte in der Schaltung maximal ist , k n Σ d i = 0 k i ≤ k d + 1 n ist O ( n ) .$k$$k$$d$$k$$kn$$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

Jede -Funktion, die eine superlineare Größe erfordert, trennt die Klasse von Funktionen mit begrenztem Fan-Out (auch auf Eingabebits angewendet) von A C 0 . Hier sind einige Beispiele:$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: Eine -Funktion, die eine superlineare Größe benötigt, ist die 1$\mathsf{AC^0}$ ungefährer Selektor$\frac{1}{4}$. A -approximate selector ist eine Funktion, deren Wert wie folgt lautet:$\frac{1}{4}$

   • wenn die Zahl von 1 s höchstens$0$$1$ ,$\frac{n}{4}$
   • wenn die Zahl von 0 s höchstens$1$$0$ ,$\frac{n}{4}$
   • kann ansonsten entweder oder 1 sein .$0$$1$

2. [Ros08] zeigt , dass die -clique hat A C 0 Funktionen Komplexität n Θ ( k ) ( n 2 Eingangsbits sind möglich Kanten eines Graphen mit n Scheitelpunkten ). Dies ergibt eine Super-Liniengröße für k > 2 .$k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$$n^2$$n$$k\gt 2$

3. Es ist wahrscheinlich möglich, das Beispiel in 2 Dosen auf das Vorhandensein einer nichttrivialen (mehr als ein Bit erfordernden) fest induzierten Unterstruktur in einer gegebenen ungeordneten Struktur zu verallgemeinern, z.

   • Existenz eines Pfades der Länge 2 in einem gegebenen Graphen,
   • ,$\#_1(x)=2$

   da sie abhängig von einem Bit, das in nicht möglich ist, eine überkonstante Anzahl von Gattern erfordern .$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. Das einfachste Beispiel ist ein Duplikator-Gatter, dh ein Gatter, das Kopien seines Eingangsbits erzeugt. Dies ist in A C 0 b f nicht möglich, da nur O ( 1 ) der Gatter von jedem Eingangsbit abhängen können.$\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

Auch jede -Schaltung der Größe S kann in eine Formel der Größe höchstens k d S umgewandelt werden und hat daher eine A C 0 b f -Formel der Größe k 2 d + 1 n, also eine beliebige Funktion von superlinear A C 0 Formelkomplexität wird nicht in A C 0 b f sein .$\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

Verweise:

[CR96] S. Chaudhuri und J. Radhakrishnan, " Deterministic Restrictions in Circuit Complexity ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " Über die Konstant-Tiefen-Komplexität von k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Boolesche Funktionskomplexität: Fortschritte und Grenzen ", Entwurf