Mulmuleys GCT-Programm

Es wird manchmal behauptet, dass Ketan Mulmuleys geometrische Komplexitätstheorie das einzige plausible Programm ist, um die offenen Fragen der Komplexitätstheorie wie die P vs. NP-Frage zu klären. Es gab mehrere positive Kommentare von berühmten Komplexitätstheoretikern zum Programm. Laut Mulmuley wird es lange dauern, bis die gewünschten Ergebnisse erzielt werden. Der Einstieg in das Gebiet ist für allgemeine Komplexitätstheoretiker nicht einfach und erfordert erhebliche Anstrengungen, um die algebraische Geometrie und Darstellungstheorie in den Griff zu bekommen.

1. Warum wird GCT als in der Lage angesehen, P gegen NP abzurechnen? Was ist der Wert des Anspruchs, wenn es voraussichtlich mehr als 100 Jahre dauert, bis er dort ankommt? Was sind seine Vorteile gegenüber anderen aktuellen Ansätzen und denen, die in den nächsten 100 Jahren aufsteigen könnten?

2. Wie ist der aktuelle Stand des Programms?

3. Was ist das nächste Ziel des Programms?

4. Hat es grundsätzliche Kritik am Programm gegeben?

Ich würde Antworten vorziehen, die für einen allgemeinen Komplexitätstheoretiker verständlich sind, wobei ein Minimum an Hintergrundwissen aus algebraischer Geometrie und Darstellungstheorie vorausgesetzt wird.

Wie von vielen anderen betont, wurde bereits viel zu vielen dieser Fragen von Mulmuley, Regan und anderen gesagt. Ich werde hier nur eine kurze Zusammenfassung der meiner Meinung nach wichtigsten Punkte anbieten, die in den Kommentaren noch nicht erwähnt wurden.

1. $P \neq NP$

2. • Beim Verständnis der algebraischen Varietäten, der Darstellungen und der algorithmischen Fragen, die bei der GCT auftreten, sind einige Fortschritte zu verzeichnen. Die wichtigsten mir bekannten Forscher, die daran gearbeitet haben, sind (in keiner bestimmten Reihenfolge): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, J. M. Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar und natürlich K. Mulmuley und M. Sohoni.

   • $n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal hat einige Artikel über die algorithmische Frage des Testens, ob sich ein Polynom in der Umlaufbahn eines anderen befindet oder ob es sich um eine Projektion eines anderen handelt. Er zeigt, dass diese Probleme im Allgemeinen NP-schwer sind, aber dass für spezielle Funktionen wie permanente, determinante und elementare symmetrische Polynome diese Probleme in P entscheidbar sind Closure - sind in P für spezielle Funktionen wie Determinante).

3. Ich habe nicht viel spezifischeres zu sagen als die Antwort auf 2.

4. Soweit ich weiß, hat es keine grundsätzliche Kritik gegeben, in dem Sinne, dass ich keine Kritik gesehen habe, die das Programm wirklich in irgendeiner Weise diskreditiert. Es gab sicherlich Diskussionen darüber, warum solche Techniken notwendig sein sollten, welchen Wert das Programm angesichts des zu erwartenden langen Zeithorizonts usw. hat, aber ich würde diese eher als gesunde Diskussion als als grundlegende Kritik bezeichnen.

Ich denke, dieser Artikel von Ketan D. Mulmuley wird mindestens Frage 1 (möglicherweise 2) zu P vs. NP und zur geometrischen Komplexitätstheorie beantworten